Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.
В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.
Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.
Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.
Онлайн-калькулятор возведения в степень
Что такое степень числа
Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?
Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.
Математически это выглядит следующим образом:
a n = a * a * a * …a n .
Например:
- 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.
Таблица степеней от 1 до 10
Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».
Ч-ло | 2-ая ст-нь | 3-я ст-нь |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 |
3 | 9 | 27 |
4 | 16 | 64 |
5 | 25 | 125 |
6 | 36 | 216 |
7 | 49 | 343 |
8 | 64 | 512 |
9 | 81 | 279 |
10 | 100 | 1000 |
Свойства степеней
Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.
Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Проверим на примерах:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Как видим, правила работают.
А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.
Посмотрим на примерах:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.
А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:
- при наличии скобок – начинать нужно с них;
- затем возведение в степень;
- потом выполнять действия умножения, деления;
- после сложение, вычитание.
Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:
- Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
- При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
- При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
- При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
- Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
- Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.
Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.
Степень с отрицательным показателем
Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?
Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :
A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.
И наоборот:
1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.
А если дробь?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Степень с натуральным показателем
Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.
Что нужно запомнить:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.
Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.
Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.
Дробная степень
Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.
С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.
Степень с иррациональным показателем
Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.
Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:
- А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;
- 0˂А˂1.
В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.
Например, показатель степени число π. Оно рациональное.
r 1 – в этом случае равно 3;
r 2 – будет равно 4.
Тогда, при А = 1, 1 π = 1.
А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.
Заключение
Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.
Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.
Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 - это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило - возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.
Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат.
Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. Это не говоря уж о том, чтобы потом еще и единицу разделить на результат. Поэтому тем, у кого нет под рукой специального инженерного калькулятора, мы расскажем, как возвести число в отрицательную степень в Excel.
Решение задач в Excel
Для разрешения задач с возведением в степень Excel позволяет пользоваться одним из двух вариантов.
Первое - это использование формулы со стандартным знаком «крышечка». Введите в ячейки рабочего листа следующие данные:
Таким же образом можно возвести нужную величину в любую степень - отрицательную, дробную. Выполним следующие действия и ответим на вопрос о том, как возвести число в отрицательную степень. Пример:
Можно прямо в формуле подправить =B2^-C2.
Второй вариант - использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента - число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.
Формула | Результат |
||||
СТЕПЕНЬ(B2;C2) | |||||
СТЕПЕНЬ(B3;C3) |
|
Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel. Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!
Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel.
Дробные показатели
Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.
- Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
- Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
- Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.
Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. Попробуйте решить на рабочем листе Excel следующий пример:
Воспользовавшись вышеприведенными правилами, вы можете проверить и убедиться, что вычисление произведено правильно.
В конце нашей статьи приведем в форме таблицы с формулами и результатами несколько примеров, как возводить число в отрицательную степень, а также несколько примеров с оперированием дробными числами и степенями.
Таблица примеров
Проверьте на рабочем листе книги Excel следующие примеры. Чтобы все заработало корректно, вам необходимо использовать смешанную ссылку при копировании формулы. Закрепите номер столбца, содержащего возводимое число, и номер строки, содержащей показатель. Ваша формула должна иметь примерно следующий вид: «=$B4^C$3».
Число / Степень | |||||
Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность - это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа.
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
- 4 — основание степени ;
- 6 — показатель степени .
В общем виде степень с основанием «a » и показателем «n » записывается с помощью выражения:
Запомните!
Степенью числа «a » с натуральным показателем «n », бóльшим 1 , называется произведение «n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a ».
Запись «a n » читается так: «а в степени n » или «n -ая степень числа a ».
Исключение составляют записи:
- a 2 — её можно произносить как «а в квадрате»;
- a 3 — её можно произносить как «а в кубе».
- a 2 — «а во второй степени»;
- a 3 — «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .
Запомните!
Степенью числа «а
» с показателем n = 1
является само это число:
a 1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1
Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени ) считают лишённым смыслом.
- (−32) 0 = 1
- 0 253 = 0
- 1 4 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
- 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
- 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
- ( ·
=
=
81 256
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
Запомните!
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Запомните!
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
a 2 ≥ 0 при любом a .
- 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
- −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
В то время как найти «−5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:
- Возвести в четвёртую степень положительное
число 5
.
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 - Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
действие вычитание).
−5 4 = −625
Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4
−6 2 − (−1) 4 = −37- 6 2 = 6 · 6 = 36
- −6 2 = −36
- (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
- −(−1) 4 = −1
- −36 − 1 = −37
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
Запомните!
В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень , затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Пример. Вычислить:
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней , которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «
Урок и презентация на тему: "Степень с отрицательным показателем. Определение и примеры решения задач"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К.
Пособие к учебнику Алимова Ш.А.
Определение степени с отрицательным показателем
Ребята, мы с вами хорошо умеем возводить числа в степень.Например: $2^4=2*2*2*2=16$ ${(-3)}^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Мы хорошо знаем, что любое число в нулевой степени равно единице. $a^0=1$, $a≠0$.
Возникает вопрос, а что будет, если возвести число в отрицательную степень? Например, чему будет равно число $2^{-2}$?
Первые математики, задавшиеся этим вопросом, решили, что изобретать велосипед заново не стоит, и хорошо, чтобы все свойства степеней оставались прежними. То есть при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели степени складываются.
Давайте рассмотрим такой случай: $2^3*2^{-3}=2^{3-3}=2^0=1$.
Получили, что произведение таких чисел должно давать единицу. Единица в произведении получается при перемножении обратных чисел, то есть $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$.
Такие рассуждения привели к следующему определению.
Определение. Если $n$ – натуральное число и $а≠0$, то выполняется равенство:
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
Важное тождество, которое часто используется: $(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$.
В частности, $(\frac{1}{a})^{-n}=a^n$.
Примеры решения
Пример 1.Вычислите: $2^{-3}+(\frac{2}{5})^{-2}-8^{-1}$.
Решение.
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
1. $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2*2*2}=\frac{1}{8}$.
2. $(\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{5}{2})^2=\frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}$.
3. $8^{-1}=\frac{1}{8}$.
Осталось выполнить операции сложения и вычитания: $\frac{1}{8}+\frac{25}{4}-\frac{1}{8}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}$.
Ответ: $6\frac{1}{4}$.
Пример 2.
Представить заданное число в виде степени простого числа
$\frac{1}{729}$.
Решение.
Очевидно, что $\frac{1}{729}=729^{-1}$.
Но 729 - не простое число, заканчивающиеся на 9. Можно предположить, что это число является степенью тройки. Последовательно разделим 729 на 3.
1) $\frac{729}{3}=243$;
2) $\frac{243}{3}=81$;
3) $\frac{81}{3}=27$;
4) $\frac{27}{3}=9$;
5) $\frac{9}{3}=3$;
6) $\frac{3}{3}=1$.
Выполнено шесть операций и значит: $729=3^6$.
Для нашей задачи:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Ответ: $3^{-6}$.
Пример 3. Представьте выражение в виде степени:
$\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}$.
Решение. Первое действие выполняется всегда внутри скобок, затем умножение
$\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}=\frac{a^6*a^{-10}}{(a^5)^{-1}}=\frac{a^{(-4)}}{a^{(-5)}}=a^{-4-(-5)}=a^{-4+5}=a$.
Ответ: $a$.
Пример 4. Докажите тождество:
$(\frac{y^2 (xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}*\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}):\frac{1-x^{-1} y}{xy^{-1}+1}=\frac{x-y}{x+y}$.
Решение.
В левой части рассмотрим каждый сомножитель в скобках отдельно.
1.
$\frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}=\frac{y^2(\frac{x}{y}-1)^2}{x(1+\frac{y}{x})^2}
=\frac{y^2(\frac{x^2}{y^2}-2\frac{x}{y}+1)}{x(1+2\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2})}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x+2y+\frac{y^2}{x}}=\frac{x^2-2xy+y^2}{\frac{x^2+2xy+y^2}{x}}=\frac{x(x^2-2xy+y^2)}{(x^2+2xy+y^2)}$.
2. $\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}=\frac{y^2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}{x(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}
=\frac{\frac{y^2}{x^2}+1}{\frac{x^2}{y}+y}=\frac{\frac{y^2+x^2}{x^2}}{{\frac{x^2+y^2}{y}}}=\frac{y^2+x^2}{x^2} *\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{y}{x^2}$.
3. $\frac{x(x^2-2xy+y^2)}{(x^2+2xy+y^2)}*\frac{y}{x^2}=\frac{y(x^2-2xy+y^2)}{x(x^2+2xy+y^2)}=\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}$.
4. Перейдем к дроби, на которую делим.
$\frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1}=\frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1}=\frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{x+y}{y}}=\frac{x-y}{x}*\frac{y}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x(x+y)}$.
5. Выполним деление.
$\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}:\frac{y(x-y)}{x(x+y)}=\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}*\frac{x(x+y)}{y(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$.
Получили верное тождество, что и требовалось доказать.
В конце урока еще раз запишем правила действий со степенями, здесь показатель степени - это целое число.
$a^s*a^t=a^{s+t}$.
$\frac{a^s}{a^t}=a^{s-t}$.
$(a^s)^t=a^{st}$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac{a}{b})^s=\frac{a^s}{b^s}$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислите: $3^{-2}+(\frac{3}{4})^{-3}+9^{-1}$.2. Представить заданное число в виде степени простого числа $\frac{1}{16384}$.
3. Представьте выражение в виде степени:
$\frac{b^{-8}*(b^3)^{-4}}{(b^2*b^{-7})^3}$.
4. Докажите тождество:
$(\frac{b^{-m}-c^{-m}}{b^{-m}+c^{-m}}+\frac{b^{-m}+c^{-m}}{c^{-m}-b^{-m}})=\frac{4}{b^m c^{-m}-b^{-m}c^m} $.