Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
- Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты - Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
- Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
где S - площадь треугольника,
- длины сторон треугольника,
- высота треугольника,
- угол между сторонами и,
- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
Формулы площади квадрата
- Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. - Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.S = 1 2 2
где S - Площадь квадрата,
- длина стороны квадрата,
- длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника
равна произведению длин двух его смежных сторон
где S - Площадь прямоугольника,
- длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
- Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма - Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.a · b · sin α
где S - Площадь параллелограмма,
- длины сторон параллелограмма,
- длина высоты параллелограмма,
- угол между сторонами параллелограмма.
Формулы площади ромба
- Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. - Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба. - Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S - Площадь ромба,
- длина стороны ромба,
- длина высоты ромба,
- угол между сторонами ромба,
1 , 2 - длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,
Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.
Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже
На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c
– стороны треугольника,
R
– радиус описанной окружности,
r
– радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c]
– высоты, проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma –
углы возле вершин.
Основные формулы площади треугольника
1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так
Таким образом, если известна сторона и высота - то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами
2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью
То с первой формулы площади следуют однотипные вторые
Внимательно посмотрите на формулы - их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).
3. Для углов треугольника справедливо соотношение
Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника
Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.
4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле
5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая
Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.
6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.
7. Формула Герона
применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника
А затем определяют площадь по формуле
или
Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.
8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле
Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».
9.
Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.
В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле
10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле
11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.
Ну и напоследок - частные случаи:
Площадь прямоугольного треугольника
с катетами a
и b
равна половине их произведения
Формула площади равностороннего (правильного) треугольника
=
= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.
Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы - такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма - а также простые приёмы, о которых мы расскажем.
Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!
Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.
А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.
1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём - разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь - как сумму площадей этих фигур.
Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .
Ответ: .
2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .
Ответ: .
3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора - части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .
На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.
Все формулы площади плоских фигур
Площадь равнобедренной трапеции
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
а - нижнее основание
b - верхнее основание
с - равные боковые стороны
α - угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности
R- радиус вписанной окружности
D- диаметр вписанной окружности
O- центр вписанной окружности
H- высота трапеции
α, β - углы трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d- диагональ трапеции
α,β- углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
c- боковая сторона
m- средняя линия трапеции
α, β - углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании,
(S):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
a - нижнее основание
b - верхнее основание
h - высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.
a, b, c- стороны треугольника
α, β, γ- противолежащие углы
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
Формула площади правильного многоугольника
a - сторона многоугольника
n - количество сторон
Площадь правильного многоугольника, (S):
Формула (Герона) площади треугольника через полупериметр (S):
Площадь равностороннего треугольника равна:
Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.
a - сторона треугольника
h – высота
Как вычислить площадь равнобедренного треугольника?
b - основание треугольника
a - равные стороны
h – высота
3. Формула площади трапеции через четыре стороны
a - нижнее основание
b - верхнее основание
c , d - боковые стороны
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
a - боковые стороны трапеции
c - нижнее основание
b - верхнее основание
d - диагональ
h - высота
Формула радиуса описанной окружности трапеции, (R)
найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
a, b - стороны треугольника
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника (R):
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
a - сторона шестиугольника
Радиус вписанной окружности в шестиугольник, (r):
Радиус вписанной окружности в ромб
r - радиус вписанной окружности
a - сторона ромба
D, d - диагонали
h - высота ромба
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
с - нижнее основание
b - верхнее основание
a - боковые стороны
h - высота
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
a, b - катеты треугольника
с - гипотенуза
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
a, b - стороны треугольника
Доказать, что площадь вписанного четырёхугольника равна
\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),
где р - полупериметр и а, b, с и d - стороны четырёхугольника.
Доказать, что площадь вписанного в круг четырёхугольника равна
1/2 (ab + cb) · sin α , где а, b, с и d - стороны четырёхугольника и α - угол между сторонами а и b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Читайте подробнее на FB.ru:
Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму пары противоположных углов:
где р – полупериметр четырёхугольника.
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты
а описанного (рис. 1.14, б) () – по формуле
Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:
Формула Пика
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.
Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:
где - площадь, r – число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника.
Эту формулу называют «формула Пика» - по имени математика, открывшего её в 1899 году.
Если вы планируете сделать ремонт самостоятельно, то у вас возникнет необходимость составить смету по строительным и отделочным материалам. Для этого вам понадобится рассчитать площадь помещения, в котором вы планируете произвести ремонтные работы. Главным помощником в этом выступает специально разработанная формула. Площадь помещения, а именно ее расчет, позволит вам сэкономить немалые деньги на строительных материалах и направить высвободившиеся денежные ресурсы в более нужное русло.
Геометрическая форма комнаты
Формула расчета площади помещения напрямую зависит от ее формы. Наиболее типичными для отечественных сооружений являются прямоугольные и квадратные комнаты. Однако в ходе перепланировки стандартная форма может искажаться. Комнаты бывают:
- Прямоугольные.
- Квадратные.
- Сложной конфигурации (например, круглые).
- С нишами и выступами.
Каждая из них имеет свои особенности расчета, но, как правило, используется одна и та же формула. Площадь помещения любой формы и размера, так или иначе, поддается вычислению.
Помещение прямоугольной или квадратной формы
Чтобы рассчитать площадь комнаты прямоугольной или квадратной формы, достаточно вспомнить школьные уроки геометрии. Поэтому для вас не должно составить особого труда определить площадь помещения. Формула расчета имеет вид:
S комнаты=A*B, где
А - длина помещения.
В - ширина помещения.
Для измерения этих величин вам понадобится обычная рулетка. Чтобы получить наиболее точные расчёты, стоит измерить стену с обеих сторон. Если значения не сходятся, возьмите за основу среднее значение получившихся данных. Но помните, что любые расчёты имеют свои погрешности, поэтому материал стоит закупать с запасом.
Помещение со сложной конфигурацией
Если ваша комната не попадает под определение «типичной», т.е. имеет форму круга, треугольника, многоугольника, то, возможно, для расчетов вам понадобится другая формула. Площадь помещения с такой характеристикой можно попробовать условно разделить на прямоугольные элементы и произвести расчеты стандартным путем. Если такой возможности у вас нет, тогда воспользуйтесь следующими методиками:
- Формула нахождения площади круга:
S комн.=π*R 2 , где
R - радиус помещения.
- Формула нахождения площади треугольника:
S комн.= √ (P(P - A) х (Р - В) х (Р - С)), где
Р - полупериметр треугольника.
А, В, С - длины его сторон.
Отсюда Р=А+В+С/2
Если в процессе расчета у вас возникли затруднения, то лучше не мучать себя и обратиться к профессионалам.
Площадь помещения с выступами и нишами
Зачастую стены украшают декоративными элементами в форме всевозможных ниш или выступов. Также их наличие может быть обусловлено необходимостью скрыть некоторые неэстетичные элементы вашей комнаты. Наличие выступов или ниш на вашей стене означает, что расчет следует проводить поэтапно. Т.е. сначала находится площадь ровного участка стены, а затем к нему прибавляется площадь ниши или выступа.
Площадь стены находится по формуле:
S стен = Р х С, где
Р - периметр
С - высота
Также нужно учитывать наличие окон и дверей. Их площадь необходимо отнять от получившегося значения.
Комната с многоуровневым потолком
Многоуровневый потолок не так сильно усложняет расчеты, как это кажется на первый взгляд. Если он имеет простую конструкцию, то можно произвести расчеты по принципу нахождения площади стен, осложненных нишами и выступами.
Однако если конструкция вашего потолка имеет дуго- и волнообразные элементы, то целесообразнее определить его площадь с помощью площади пола. Для этого необходимо:
- Найти размеры всех прямых участков стен.
- Найти площадь пола.
- Перемножить длину и высоту вертикальных участков.
- Суммировать получившееся значение с площадью пола.
Пошаговая инструкция по определению общей
площади помещения
- Освободите помещение от ненужных вещей. В процессе замеров вам понадобится свободный доступ ко всем участкам вашей комнаты, поэтому нужно избавиться от всего, что может этому препятствовать.
- Визуально разделите комнату на участки правильной и неправильной формы. Если ваше помещение имеет строго квадратную или прямоугольную форму, то этот этап можно пропустить.
- Сделайте произвольную схему помещения. Этот чертеж нужен для того, чтобы все данные были у вас всегда под рукой. Также он не даст вам возможности запутаться в многочисленных замерах.
- Замеры необходимо производить несколько раз. Это важное правило для исключения ошибок в подсчетах. Также если вы используете убедитесь, что луч лежит ровно на поверхности стены.
- Найдите общую площадь помещения. Формула общей площади помещения заключается в нахождении суммы всех площадей отдельных участков комнаты. Т.е. S общ.= S стен+S пола+S потолка
