घातीय फलन y. बुनियादी प्राथमिक कार्य, उनके गुण और ग्राफ़। एक से अधिक गैर-पूर्णांक परिमेय या अपरिमेय घातांक वाला घात फलन

ज्ञान बुनियादी प्राथमिक कार्य, उनके गुण और ग्राफ़गुणन सारणी जानने से कम महत्वपूर्ण नहीं। वे नींव की तरह हैं, सब कुछ उन पर आधारित है, सब कुछ उनसे बनता है और सब कुछ उन्हीं तक आता है।

इस लेख में हम सभी मुख्य प्रारंभिक कार्यों को सूचीबद्ध करेंगे, उनके ग्राफ़ प्रदान करेंगे और बिना किसी निष्कर्ष या प्रमाण के देंगे बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणयोजना के अनुसार:

• परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर किसी फ़ंक्शन का व्यवहार, ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (यदि आवश्यक हो, तो किसी फ़ंक्शन के असंततता बिंदुओं का वर्गीकरण लेख देखें);
• सम और विषम;
• उत्तलता (ऊपर की ओर उत्तलता) और अवतलता (नीचे की ओर उत्तलता), विभक्ति बिंदु (यदि आवश्यक हो, तो लेख किसी फ़ंक्शन की उत्तलता, उत्तलता की दिशा, विभक्ति बिंदु, उत्तलता और विभक्ति की स्थिति देखें) के अंतराल;
• तिरछा और क्षैतिज अनंतस्पर्शी;
• कार्यों के एकवचन बिंदु;
• कुछ कार्यों के विशेष गुण (उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि)।

यदि आपकी रुचि या में है, तो आप सिद्धांत के इन अनुभागों में जा सकते हैं।

बुनियादी प्राथमिक कार्यहैं: स्थिर फलन (स्थिर), nवाँ मूल, घात फलन, घातांक, लघुगणक फलन, त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन।

पेज नेविगेशन.

स्थायी कार्य.

सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एक स्थिर फलन को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ C कुछ वास्तविक संख्या है। एक स्थिर फ़ंक्शन स्वतंत्र चर x के प्रत्येक वास्तविक मान को आश्रित चर y के समान मान - मान C के साथ जोड़ता है। एक स्थिर फलन को स्थिरांक भी कहा जाता है।

एक स्थिर फलन का ग्राफ़ x-अक्ष के समानांतर और निर्देशांक (0,C) वाले बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। उदाहरण के तौर पर, हम स्थिर फलनों y=5, y=-2 और के ग्राफ दिखाएंगे, जो नीचे दिए गए चित्र में क्रमशः काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

एक स्थिर फलन के गुण.

• डोमेन: वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट.
• अचर फलन सम है.
• मानों की श्रेणी: एक सेट जिसमें एकवचन संख्या C शामिल है।
• एक स्थिर फलन न तो बढ़ता है और न ही घटता है (इसीलिए यह स्थिर है)।
• किसी स्थिरांक की उत्तलता और अवतलता के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं.
• फ़ंक्शन निर्देशांक तल के बिंदु (0,C) से होकर गुजरता है।

nवीं डिग्री की जड़.

आइए मूल प्राथमिक फ़ंक्शन पर विचार करें, जो सूत्र द्वारा दिया गया है, जहां n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है।

nवीं डिग्री का मूल, n एक सम संख्या है।

आइए मूल घातांक n के सम मानों के लिए nवें रूट फ़ंक्शन से प्रारंभ करें।

उदाहरण के तौर पर, यहां फ़ंक्शन ग्राफ़ की छवियों वाला एक चित्र है और, वे काली, लाल और नीली रेखाओं के अनुरूप हैं।

सम-डिग्री रूट फ़ंक्शंस के ग्राफ़ में घातांक के अन्य मानों के लिए समान उपस्थिति होती है।

सम n के लिए nवें रूट फ़ंक्शन के गुण।

nवाँ मूल, n एक विषम संख्या है।

विषम मूल घातांक n के साथ nवें मूल फ़ंक्शन को वास्तविक संख्याओं के संपूर्ण सेट पर परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, यहां फ़ंक्शन ग्राफ़ हैं और, वे काले, लाल और नीले वक्रों के अनुरूप हैं।

मूल घातांक के अन्य विषम मानों के लिए, फ़ंक्शन ग्राफ़ का स्वरूप समान होगा।

विषम n के लिए nवें मूल फलन के गुण।

ऊर्जा समीकरण।

पावर फ़ंक्शन फॉर्म के सूत्र द्वारा दिया गया है।

आइए घातांक के मान के आधार पर पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप और पावर फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करें।

आइए एक पूर्णांक घातांक a के साथ एक पावर फ़ंक्शन से शुरुआत करें। इस मामले में, पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ की उपस्थिति और फ़ंक्शंस के गुण घातांक की समता या विषमता के साथ-साथ उसके चिह्न पर भी निर्भर करते हैं। इसलिए, हम पहले घातांक a के विषम धनात्मक मानों के लिए घात फलनों पर विचार करेंगे, फिर सम धनात्मक घातांकों के लिए, फिर विषम ऋणात्मक घातांकों के लिए, और अंत में सम ऋणात्मक a के लिए घात फलनों पर विचार करेंगे।

भिन्नात्मक और अपरिमेय घातांक वाले घात फलन के गुण (साथ ही ऐसे घात फलन के ग्राफ़ के प्रकार) घातांक a के मान पर निर्भर करते हैं। हम उन पर विचार करेंगे, सबसे पहले, शून्य से एक तक के लिए, दूसरे, एक से अधिक के लिए, तीसरे, शून्य से एक से शून्य तक के लिए, चौथे, शून्य से एक से कम के लिए।

इस खंड के अंत में, पूर्णता के लिए, हम शून्य घातांक वाले एक पावर फ़ंक्शन का वर्णन करेंगे।

विषम धनात्मक घातांक के साथ घात फलन।

आइए एक विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, अर्थात a = 1,3,5,... के साथ।

नीचे दिया गया चित्र पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। a=1 के लिए हमारे पास है रैखिक प्रकार्य y=x.

एक विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

सम सकारात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन।

आइए एक सम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, अर्थात a = 2,4,6,... के लिए।

उदाहरण के तौर पर, हम पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ देते हैं - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा। a=2 के लिए हमारे पास एक द्विघात फलन है, जिसका ग्राफ है द्विघात परवलय.

एक सम धनात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

विषम ऋणात्मक घातांक के साथ घात फलन।

घातांक के विषम नकारात्मक मानों के लिए पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें, अर्थात a = -1, -3, -5,... के लिए।

चित्र उदाहरण के रूप में शक्ति कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। a=-1 के लिए हमारे पास है व्युत्क्रम आनुपातिकता, जिसका ग्राफ है अतिशयोक्ति.

एक विषम ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

सम ऋणात्मक घातांक के साथ घात फलन।

आइए a=-2,-4,-6,… के लिए पावर फ़ंक्शन पर आगे बढ़ें।

चित्र शक्ति कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा।

एक सम ऋणात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।

परिमेय या अपरिमेय घातांक वाला एक घात फलन जिसका मान शून्य से अधिक और एक से कम होता है।

टिप्पणी!यदि a एक विषम हर वाला एक धनात्मक भिन्न है, तो कुछ लेखक पावर फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अंतराल मानते हैं। यह निर्धारित है कि घातांक a एक अघुलनशील भिन्न है। अब बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर कई पाठ्यपुस्तकों के लेखक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम हर के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। हम सटीक रूप से इस दृष्टिकोण का पालन करेंगे, अर्थात, हम सेट को भिन्नात्मक सकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों की परिभाषा के डोमेन के रूप में मानेंगे। हमारा सुझाव है कि छात्र असहमति से बचने के लिए इस सूक्ष्म बिंदु पर अपने शिक्षक की राय जानें।

आइए हम एक परिमेय या अपरिमेय घातांक a, और के साथ एक घात फलन पर विचार करें।

आइए हम a=11/12 (काली रेखा), a=5/7 (लाल रेखा), (नीली रेखा), a=2/5 (हरी रेखा) के लिए पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्रस्तुत करें।

एक गैर-पूर्णांक परिमेय या एक से अधिक अपरिमेय घातांक वाला घात फलन।

आइए एक गैर-पूर्णांक परिमेय या अपरिमेय घातांक a, और के साथ एक घात फलन पर विचार करें।

आइए हम सूत्रों द्वारा दिए गए शक्ति कार्यों के ग्राफ़ प्रस्तुत करें (क्रमशः काली, लाल, नीली और हरी रेखाएँ)।

घातांक a के अन्य मानों के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्वरूप समान होगा।

पर पावर फ़ंक्शन के गुण।

वास्तविक घातांक वाला एक घात फलन जो शून्य से एक से अधिक और शून्य से कम है।

टिप्पणी!यदि a एक विषम हर के साथ एक ऋणात्मक भिन्न है, तो कुछ लेखक पावर फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अंतराल मानते हैं . यह निर्धारित है कि घातांक a एक अघुलनशील भिन्न है। अब बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर कई पाठ्यपुस्तकों के लेखक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम हर के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। हम सटीक रूप से इस दृष्टिकोण का पालन करेंगे, अर्थात्, हम भिन्नात्मक भिन्नात्मक नकारात्मक घातांक वाले शक्ति कार्यों की परिभाषा के डोमेन को क्रमशः एक सेट मानेंगे। हमारा सुझाव है कि छात्र असहमति से बचने के लिए इस सूक्ष्म बिंदु पर अपने शिक्षक की राय जानें।

आइए पावर फ़ंक्शन पर चलते हैं, kgod।

पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के रूप का एक अच्छा विचार रखने के लिए, हम फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के उदाहरण देते हैं (क्रमशः काले, लाल, नीले और हरे रंग के वक्र)।

घातांक a, के साथ एक शक्ति फलन के गुण।

एक गैर-पूर्णांक वास्तविक घातांक वाला एक पावर फ़ंक्शन जो माइनस एक से कम है।

आइए हम इसके लिए शक्ति फलनों के ग्राफ़ के उदाहरण दें , उन्हें क्रमशः काली, लाल, नीली और हरी रेखाओं द्वारा दर्शाया गया है।

माइनस एक से कम गैर-पूर्णांक नकारात्मक घातांक वाले पावर फ़ंक्शन के गुण।

जब a = 0, हमारे पास एक फ़ंक्शन होता है - यह एक सीधी रेखा है जिसमें से बिंदु (0;1) को बाहर रखा गया है (अभिव्यक्ति 0 0 को कोई महत्व नहीं देने पर सहमति हुई थी)।

घातांक प्रकार्य।

मुख्य प्राथमिक कार्यों में से एक घातीय कार्य है।

घातीय फलन का ग्राफ, जहां और आधार a के मान के आधार पर अलग-अलग रूप लेता है। आइए इसका पता लगाएं।

सबसे पहले, उस मामले पर विचार करें जब घातीय फ़ंक्शन का आधार शून्य से एक तक मान लेता है, यानी।

उदाहरण के तौर पर, हम a = 1/2 - नीली रेखा, a = 5/6 - लाल रेखा के लिए घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं। घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ अंतराल से आधार के अन्य मानों के लिए समान दिखते हैं।

एक से कम आधार वाले घातांकीय फलन के गुण।

आइए उस स्थिति पर आगे बढ़ें जब घातांकीय फलन का आधार एक से बड़ा हो, अर्थात।

उदाहरण के तौर पर, हम घातीय फलनों के ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं - नीली रेखा और - लाल रेखा। एक से अधिक आधार के अन्य मानों के लिए, घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्वरूप समान होगा।

एक से बड़े आधार वाले घातांकीय फलन के गुण।

लघुगणकीय कार्य.

अगला बुनियादी प्राथमिक फ़ंक्शन लॉगरिदमिक फ़ंक्शन है, जहां,। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को केवल तर्क के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ आधार a के मान के आधार पर विभिन्न रूप लेता है।

ध्यान की एकाग्रता:

परिभाषा। समारोह प्रजाति को कहा जाता है घातांक प्रकार्य .

टिप्पणी। आधार मूल्यों से बहिष्करण एसंख्या 0; 1 और नकारात्मक मान एनिम्नलिखित परिस्थितियों द्वारा समझाया गया है:

विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति ही एक एक्सइन मामलों में, इसका अर्थ बरकरार रहता है और इसका उपयोग समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के लिए x yडॉट एक्स = 1; य = 1 स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के भीतर है.

फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं: और।

एक घातीय फलन का ग्राफ़
य =ए एक्स, ए > 1	य =ए एक्स , 0< a < 1

घातीय फलन के गुण

घातीय फलन के गुण	य =ए एक्स, ए > 1	य =ए एक्स , 0< a < 1
फ़ंक्शन डोमेन
2. फ़ंक्शन रेंज
3. इकाई के साथ तुलना के अंतराल	पर एक्स> 0, ए एक्स > 1	पर एक्स > 0, 0< a एक्स < 1
	पर एक्स < 0, 0< a एक्स < 1	पर एक्स < 0, a एक्स > 1
4. सम, विषम।	फलन न तो सम है और न ही विषम (सामान्य रूप का फलन)।
5.एकरसता.	नीरस रूप से बढ़ता है आर	द्वारा नीरस रूप से घटता है आर
6. अति.	घातांकीय फलन का कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है।
7.असिम्प्टोट	O-अक्ष एक्सएक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है.
8. किसी भी वास्तविक मूल्य के लिए एक्सऔर य;

जब तालिका भर दी जाती है, तो कार्यों को भरने के समानांतर हल किया जाता है।

कार्य संख्या 1. (किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजने के लिए)।

फ़ंक्शंस के लिए कौन से तर्क मान मान्य हैं:

कार्य संख्या 2. (किसी फ़ंक्शन के मानों की सीमा ज्ञात करने के लिए)।

यह चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र और मानों की सीमा निर्दिष्ट करें:

कार्य संख्या 3. (एक के साथ तुलना के अंतराल को इंगित करने के लिए)।

निम्नलिखित में से प्रत्येक शक्ति की तुलना एक से करें:

टास्क नंबर 4. (एकरसता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करना)।

आकार के आधार पर वास्तविक संख्याओं की तुलना करें एमऔर एनअगर:

टास्क नंबर 5. (एकरसता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करना)।

आधार के संबंध में निष्कर्ष निकालें ए, अगर:

y(x) = 10 x ; एफ(एक्स) = 6 एक्स ; जेड(एक्स) - 4 एक्स

x > 0, x = 0, x के लिए घातीय फलनों के ग्राफ़ एक दूसरे के सापेक्ष कैसे हैं< 0?

निम्नलिखित फ़ंक्शन ग्राफ़ एक समन्वय विमान में प्लॉट किए गए हैं:

y(x) = (0,1) x ; एफ(एक्स) = (0.5) एक्स ; z(x) = (0.8) x .

x > 0, x = 0, x के लिए घातीय फलनों के ग्राफ़ एक दूसरे के सापेक्ष कैसे हैं< 0?

संख्या गणित में सबसे महत्वपूर्ण स्थिरांकों में से एक। परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम की सीमा के बराबर असीमित के साथ बढ़ रहा है एन . पद का नाम इप्रविष्टि की लियोनार्ड यूलर 1736 में। उन्होंने दशमलव अंकन में इस संख्या के पहले 23 अंकों की गणना की, और इस संख्या को नेपियर के सम्मान में "गैर-पियरे संख्या" नाम दिया गया। संख्या इगणितीय विश्लेषण में विशेष भूमिका निभाता है। घातांक प्रकार्य आधार के साथ इ, प्रतिपादक कहा जाता है और नामित किया गया है वाई = ई एक्स. पहला संकेत नंबर इयाद करने के लिए आसान: दो, अल्पविराम, सात, लियो टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष - दो बार, पैंतालीस, नब्बे, पैंतालीस।

गृहकार्य:

कोलमोगोरोव अनुच्छेद 35; क्रमांक 445-447; 451; 453.

मापांक चिह्न के अंतर्गत एक चर वाले कार्यों के ग्राफ़ बनाने के लिए एल्गोरिदम को दोहराएं।

घातांक प्रकार्य

प्रपत्र y = a का फलन एक्स , जहां a शून्य से बड़ा है और a एक के बराबर नहीं है, उसे घातीय फलन कहा जाता है। घातांकीय फलन के मूल गुण:

1. घातीय फलन की परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा।

2. घातीय फलन के मानों की सीमा सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगी। कभी-कभी संक्षिप्तता के लिए इस सेट को R+ के रूप में दर्शाया जाता है।

3. यदि किसी घातीय फलन में आधार a एक से बड़ा है, तो परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फलन बढ़ता जाएगा। यदि आधार के लिए घातांकीय फलन में निम्नलिखित शर्त संतुष्ट होती है 0

4. डिग्रियों की सभी मूल संपत्तियां मान्य होंगी. डिग्रियों के मुख्य गुण निम्नलिखित समानताओं द्वारा दर्शाए जाते हैं:

ए एक्स *ए य =ए (x+y) ;

(ए एक्स )/(ए य ) = ए (x-y) ;

(ए*बी) एक्स = (ए एक्स )*(ए य );

(ए/बी) एक्स =ए एक्स /बी एक्स ;

(ए एक्स ) य =ए (एक्स * वाई) .

ये समानताएं x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए मान्य होंगी।

5. एक घातीय फलन का ग्राफ हमेशा निर्देशांक (0;1) वाले बिंदु से होकर गुजरता है

6. घातांक फलन बढ़ता है या घटता है, इसके आधार पर इसके ग्राफ के दो रूपों में से एक होगा।

निम्नलिखित चित्र एक बढ़ते हुए घातीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है: a>0।

निम्नलिखित आंकड़ा घटते घातीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है: 0

पांचवें पैराग्राफ में वर्णित संपत्ति के अनुसार, बढ़ते घातीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ और घटते घातीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ दोनों बिंदु (0; 1) से गुजरते हैं।

7. एक घातीय फ़ंक्शन में चरम बिंदु नहीं होते हैं, यानी दूसरे शब्दों में, इसमें फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम बिंदु नहीं होते हैं। यदि हम किसी विशिष्ट खंड पर किसी फ़ंक्शन पर विचार करते हैं, तो फ़ंक्शन इस अंतराल के अंत में न्यूनतम और अधिकतम मान लेगा।

8. फलन सम या विषम नहीं है। एक घातांकीय फलन सामान्य रूप का एक फलन है। इसे ग्राफ़ से देखा जा सकता है; उनमें से कोई भी ओए अक्ष के संबंध में या निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में सममित नहीं है।

लोगारित्म

स्कूली गणित पाठ्यक्रमों में लघुगणक को हमेशा एक कठिन विषय माना गया है। लघुगणक की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, लेकिन किसी कारण से अधिकांश पाठ्यपुस्तकें उनमें से सबसे जटिल और असफल परिभाषाओं का उपयोग करती हैं।

हम लघुगणक को सरल एवं स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए एक तालिका बनाएं:

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं। यदि आप नीचे की पंक्ति से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

परिभाषा

लोगारित्मतर्क x का आधार बनाना वह शक्ति है जिससे संख्या को बढ़ाया जाना चाहिएए नंबर पाने के लिएएक्स।

पद का नाम

लॉग ए एक्स = बी
जहां a आधार है, x तर्क है, b - दरअसल, लघुगणक किसके बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒ लघुगणक 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ, लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की संक्रिया कहलाती हैलोगारित्म . तो, आइए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लघुगणक अंतराल पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को अनंत तक लिखा जा सकता है, और उन्हें कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस प्रकार छोड़ना बेहतर है: लघुगणक 2 5, लघुगणक 3 8, लघुगणक 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। पहले तो कई लोग भ्रमित हो जाते हैं कि आधार कहां है और तर्क कहां है। कष्टप्रद ग़लतफहमियों से बचने के लिए, बस चित्र देखें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है। याद रखें: लघुगणक एक शक्ति है , जिसमें तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बनाया जाना चाहिए।यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - इसे चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। इससे पता चलता है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने विद्यार्थियों को पहले पाठ में ही यह अद्भुत नियम बता देता हूँ - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता।

हमने परिभाषा का पता लगा लिया है - जो कुछ बचा है वह सीखना है कि लघुगणक की गणना कैसे करें, अर्थात्। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम उस पर ध्यान देते हैं परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निकलते हैं:

तर्क और आधार सदैव शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिसमें लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।

आधार एक से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्तर तक एक अभी भी एक ही रहता है।इस कारण से, यह प्रश्न कि "दो प्राप्त करने के लिए एक को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए" निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंधकहा जाता है स्वीकार्य मूल्यों की सीमा(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: लॉगए एक्स = बी ⇒ एक्स > 0, ए > 0, ए ≠ 1.

कृपया ध्यान दें कि संख्या पर कोई प्रतिबंध नहींबी (लघुगणक मान) ओवरलैप नहीं होता है. उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: लॉग 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 −1.

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक का VA जानने की आवश्यकता नहीं है। कार्यों के लेखकों द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लघुगणक समीकरण और असमानताएं चलन में आएंगी, तो डीएल आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। आख़िरकार, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण शामिल हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब सामान्य पर विचार करें लघुगणक की गणना के लिए योजना. इसमें तीन चरण होते हैं:

कोई कारण बताएंए और तर्क एक्स एक से अधिक न्यूनतम संभावित आधार वाली शक्ति के रूप में। साथ ही, दशमलव से छुटकारा पाना बेहतर है;

एक चर के संबंध में हल करेंबी समीकरण: एक्स = ए बी ;

परिणामी संख्याबी उत्तर होगा.

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत महत्वपूर्ण है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं। दशमलव भिन्नों के साथ भी ऐसा ही है: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य भिन्नों में बदल दें, तो बहुत कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह योजना कैसे काम करती है:

लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

आइए आधार और तर्क की कल्पना पाँच की घात के रूप में करें: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

हमें उत्तर मिला: 2.

लघुगणक की गणना करें:

आइए आधार और तर्क की कल्पना तीन की घात के रूप में करें: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

हमें उत्तर मिला: −4.

−4

लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 4 64 = बी ⇒ (2 2) बी = 2 6 ⇒ 2 2 बी = 2 6 ⇒ 2बी = 6 ⇒ बी = 3;

हमें उत्तर मिला: 3.

लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 16 1 = बी ⇒ (2 4) बी = 2 0 ⇒ 2 4 बी = 2 0 ⇒ 4बी = 0 ⇒ बी = 0;

हमें उत्तर मिला: 0.

लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

आइए आधार और तर्क की कल्पना सात की घात के रूप में करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;

पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि लघुगणक की गिनती नहीं होती है;

उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

लॉग 7 14

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

पता लगाएँ कि क्या संख्याएँ सटीक घात हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक घात नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से कोई सटीक शक्ति नहीं;
14 = 7 · 2 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;

8, 81 - सटीक डिग्री; 48, 35, 14 - नहीं।

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा स्वयं की सटीक घातें होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और प्रतीक होता है।

परिभाषा

दशमलव लघुगणकतर्क x से आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात वह शक्ति जिससे संख्या प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को बढ़ाया जाना चाहिएएक्स।

पद का नाम

एलजी एक्स

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; एलजी 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप इस संकेतन से अपरिचित हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव लघुगणक के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना पदनाम है। कुछ मायनों में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। हम प्राकृतिक लघुगणक के बारे में बात कर रहे हैं।

परिभाषा

प्राकृतिकतर्क x से आधार का लघुगणक हैइ , अर्थात। वह शक्ति जिससे किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिएइ नंबर पाने के लिएएक्स।

पद का नाम

एलएन एक्स

बहुत से लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सटीक मान न तो पाया जा सकता है और न ही लिखा जा सकता है। मैं केवल प्रथम आंकड़े दूँगा:
ई = 2.718281828459...

यह नंबर क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। बस इतना याद रखें कि ई - प्राकृतिक लघुगणक का आधार:
एल.एनएक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एक को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूँकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने नियम हैं, जिन्हें मूल गुण कहा जाता है।

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगएक x और एक y लॉग करें . फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लकड़ी का लट्ठाएक एक्स + लॉगएक य = लॉगए ( एक्स · य );

लकड़ी का लट्ठाएक एक्स − लॉगएक य = लॉगए ( एक्स : य ).

इसलिए, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है।कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु वही आधार है। यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ देखें " "). उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? तब इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बिल्कुल यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लघुगणक 2 7. चूँकि लघुगणक 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - हर में 2/4 रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

प्रमेय

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया हैएक एक्स . फिर किसी भी संख्या के लिए c इस प्रकार है कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम डालते हैंसी = एक्स, हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है.

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्याएन तर्क में स्थिति की डिग्री का सूचक बन जाता है। संख्याएन बिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह सिर्फ एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं:बुनियादी लघुगणकीय पहचान.

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम

अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

समाधान

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस आधार से वर्ग और लघुगणक का तर्क लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

200

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

लॉग ए ए = 1 है लघुगणकीय इकाई. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार पर लघुगणकए इसी से आधार एक के बराबर है।

लॉग ए 1 = 0 है लघुगणकीय शून्य. आधार ए कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकिएक 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें!

पाठ संख्या2

विषय: घातीय फलन, उसके गुण और ग्राफ़।

लक्ष्य:"घातीय फ़ंक्शन" की अवधारणा में महारत हासिल करने की गुणवत्ता की जाँच करें; घातीय फ़ंक्शन को पहचानने, उसके गुणों और ग्राफ़ का उपयोग करने में कौशल विकसित करना, छात्रों को घातीय फ़ंक्शन को रिकॉर्ड करने के विश्लेषणात्मक और ग्राफिकल रूपों का उपयोग करना सिखाना; कक्षा में कामकाजी माहौल प्रदान करें।

उपकरण:बोर्ड, पोस्टर

पाठ रूप: कक्षा पाठ

पाठ का प्रकार: व्यावहारिक पाठ

पाठ का प्रकार: शिक्षण कौशल और क्षमताओं में पाठ

शिक्षण योजना

1. संगठनात्मक क्षण

2. स्वतंत्र कार्य और गृहकार्य की जाँच करना

3. समस्या समाधान

4. सारांश

5. गृहकार्य

कक्षाओं के दौरान.

1. संगठनात्मक क्षण :

नमस्ते। अपनी नोटबुक खोलें, आज की तारीख और पाठ का विषय "एक्सपोनेंशियल फंक्शन" लिखें। आज हम घातीय फलन, उसके गुणों और ग्राफ का अध्ययन करना जारी रखेंगे।

2. स्वतंत्र कार्य और गृहकार्य की जाँच करना .

लक्ष्य:"घातीय फ़ंक्शन" की अवधारणा की महारत की गुणवत्ता की जांच करें और होमवर्क के सैद्धांतिक भाग के पूरा होने की जांच करें

तरीका:परीक्षण कार्य, फ्रंटल सर्वेक्षण

होमवर्क के रूप में, आपको समस्या पुस्तिका से नंबर और पाठ्यपुस्तक से एक पैराग्राफ दिया गया था। हम अब पाठ्यपुस्तक से संख्याओं के आपके निष्पादन की जाँच नहीं करेंगे, लेकिन आप पाठ के अंत में अपनी नोटबुक सौंप देंगे। अब थ्योरी को एक छोटे टेस्ट के तौर पर परखा जाएगा. कार्य सभी के लिए समान है: आपको कार्यों की एक सूची दी गई है, आपको यह पता लगाना होगा कि उनमें से कौन सा संकेतक है (उन्हें रेखांकित करें)। और एक्सपोनेंशियल फंक्शन के आगे आपको यह लिखना है कि यह बढ़ रहा है या घट रहा है।

आइए अब एक साथ याद करें कि किस फ़ंक्शन को घातांक कहा जाता है?

फॉर्म का एक फ़ंक्शन, जहां और, एक घातीय फ़ंक्शन कहलाता है।

इस फ़ंक्शन का दायरा क्या है?

सभी वास्तविक संख्याएँ.

घातीय फलन की सीमा क्या है?

सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ.

यदि शक्ति का आधार शून्य से अधिक लेकिन एक से कम है तो घट जाता है।

किस स्थिति में एक घातीय फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में घट जाता है?

यदि शक्ति का आधार एक से अधिक हो तो वृद्धि होती है।

3. समस्या समाधान

लक्ष्य: एक घातीय फ़ंक्शन को पहचानने, उसके गुणों और ग्राफ़ का उपयोग करने में कौशल विकसित करना, छात्रों को एक घातीय फ़ंक्शन लिखने के विश्लेषणात्मक और ग्राफिकल रूपों का उपयोग करना सिखाना

तरीका: शिक्षक द्वारा विशिष्ट समस्याओं को हल करने का प्रदर्शन, मौखिक कार्य, ब्लैकबोर्ड पर कार्य, नोटबुक में कार्य, शिक्षक और छात्रों के बीच बातचीत।

2 या अधिक संख्याओं की तुलना करते समय घातीय फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: संख्या 000. मानों की तुलना करें और यदि a) ..gif' width='37' ऊंचाई='20 src='>, तो यह एक जटिल काम है: हमें 3 और 9 का घनमूल लेना होगा, और उनकी तुलना करनी होगी। लेकिन हम जानते हैं कि यह बढ़ता है, इसका अपने तरीके से मतलब है कि जैसे-जैसे तर्क बढ़ता है, फ़ंक्शन का मूल्य बढ़ता है, यानी, हमें केवल तर्क के मूल्यों की तुलना करने की आवश्यकता है और, यह स्पष्ट है कि (बढ़ते घातीय फ़ंक्शन को दर्शाने वाले पोस्टर पर प्रदर्शित किया जा सकता है)। और हमेशा, ऐसे उदाहरणों को हल करते समय, आप पहले घातीय फ़ंक्शन का आधार निर्धारित करते हैं, इसकी तुलना 1 से करते हैं, एकरसता निर्धारित करते हैं और तर्कों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। घटते फ़ंक्शन के मामले में: जब तर्क बढ़ता है, तो फ़ंक्शन का मान घट जाता है, इसलिए, तर्कों की असमानता से कार्यों की असमानता की ओर बढ़ने पर हम असमानता का संकेत बदल देते हैं। अगला, हम मौखिक रूप से हल करते हैं: बी)

-

में)

-

जी)

-

- संख्या 000। संख्याओं की तुलना करें: ए) और

इसलिए, तब कार्य बढ़ जाता है

क्यों ?

बढ़ती कार्यक्षमता और

इसलिए, फ़ंक्शन कम हो रहा है

दोनों कार्य अपनी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ते हैं, क्योंकि वे एक से अधिक शक्ति के आधार के साथ घातांकीय होते हैं।

इसके पीछे क्या अर्थ है?

हम ग्राफ़ बनाते हैं:

प्रयास करने पर कौन सा फ़ंक्शन तेजी से बढ़ता है https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width=”20 ऊंचाई=25” ऊंचाई=”25”>

प्रयास करने पर कौन सा फ़ंक्शन तेजी से घटता है https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width=”20 ऊंचाई=25” ऊंचाई=”25”>

अंतराल पर, किसी विशिष्ट बिंदु पर किस फ़ंक्शन का मान अधिक होता है?

डी), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width='69' ऊंचाई='57 src='>. सबसे पहले, आइए इन फ़ंक्शन की परिभाषा के दायरे का पता लगाएं। क्या वे मेल खाते हैं?

हाँ, इन फ़ंक्शंस का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन के दायरे का नाम बताइए।

इन कार्यों की सीमाएँ मेल खाती हैं: सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ।

प्रत्येक फ़ंक्शन की एकरसता का प्रकार निर्धारित करें।

सभी तीन कार्य उनकी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटते हैं, क्योंकि वे एक से कम और शून्य से अधिक शक्तियों के आधार के साथ घातीय हैं।

घातीय फलन के ग्राफ़ में कौन सा विशेष बिंदु मौजूद है?

इसके पीछे क्या अर्थ है?

किसी घातांकीय फ़ंक्शन की डिग्री का आधार जो भी हो, यदि घातांक में 0 है, तो इस फ़ंक्शन का मान 1 है।

हम ग्राफ़ बनाते हैं:

आइए ग्राफ़ का विश्लेषण करें। फ़ंक्शंस के ग्राफ़ में कितने प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं?

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif' width='41 ऊंचाई=57' ऊंचाई='57'> आज़माने पर कौन सा फ़ंक्शन तेजी से घटता है

प्रयास करने पर कौन सा फ़ंक्शन तेजी से बढ़ता है https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width=”41 ऊंचाई=57” ऊंचाई=”57”>

अंतराल पर, किसी विशिष्ट बिंदु पर किस फ़ंक्शन का मान अधिक होता है?

अंतराल पर, किसी विशिष्ट बिंदु पर किस फ़ंक्शन का मान अधिक होता है?

विभिन्न आधारों वाले घातांकीय फलनों का प्रतिच्छेदन बिंदु केवल एक ही क्यों होता है?

घातीय फलन अपनी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में सख्ती से एकरस होते हैं, इसलिए वे केवल एक बिंदु पर ही प्रतिच्छेद कर सकते हैं।

अगला कार्य इस संपत्ति का उपयोग करने पर केंद्रित होगा। संख्या 000. दिए गए अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें a) . याद रखें कि एक सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन किसी दिए गए खंड के अंत में अपना न्यूनतम और अधिकतम मान लेता है। और यदि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो इसका सबसे बड़ा मूल्य खंड के दाहिने छोर पर होगा, और सबसे छोटा खंड के बाएं छोर पर होगा (पोस्टर पर प्रदर्शन, एक घातीय फ़ंक्शन के उदाहरण का उपयोग करके)। यदि फ़ंक्शन घट रहा है, तो इसका सबसे बड़ा मान खंड के बाएं छोर पर होगा, और सबसे छोटा खंड के दाएं छोर पर होगा (पोस्टर पर प्रदर्शन, एक घातीय फ़ंक्शन के उदाहरण का उपयोग करके)। फ़ंक्शन बढ़ रहा है, क्योंकि, इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान बिंदु https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width='145' ऊंचाई='29' पर होगा >. अंक बी ) , वी) घ) नोटबुक स्वयं हल करें, हम उन्हें मौखिक रूप से जाँचेंगे।

छात्र कार्य को अपनी नोटबुक में हल करते हैं

- संख्या 000. दिए गए अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें a) . यह कार्य लगभग पिछले जैसा ही है। लेकिन यहां जो दिया गया है वह खंड नहीं बल्कि किरण है। हम जानते हैं कि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और संपूर्ण संख्या रेखा पर इसका न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" ऊंचाई = "20">, और at की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात किरण पर फ़ंक्शन at 0 की ओर प्रवृत्त होता है, लेकिन इसका सबसे छोटा मान नहीं होता है, लेकिन बिंदु पर इसका मान सबसे बड़ा होता है . अंक बी) , वी) , जी) कॉपियाँ स्वयं हल करें, हम मौखिक रूप से उनकी जाँच करेंगे।