Lygtis x 2 1. Išspręskite kvadratinę lygtį tinkle. Lygties x2=a skirtingų atvejų pavyzdžiai

Siūlome Jums patogią nemokamą internetinis skaičiuotuvas kvadratinėms lygtims spręsti. Galite greitai suprasti ir suprasti, kaip jie išsprendžiami, naudodami aiškius pavyzdžius.
Gaminti Išspręskite kvadratinę lygtį internete, pirmiausia perkelkite lygtį į bendrą formą:
ax 2 + bx + c = 0
Atitinkamai užpildykite formos laukus:

Kaip išspręsti kvadratinę lygtį

1 pavyzdys. Įprastos kvadratinės lygties su skirtingomis realiosiomis šaknimis sprendimas.
x 2 + 3x -10 = 0
Šioje lygtyje
A = 1, B = 3, C = -10
D = B 2 -4 * A * C = 9-4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49
Kvadratinę šaknį pažymėsime kaip skaičių 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Norėdami patikrinti, pakeiskime:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10

2 pavyzdys. Kvadratinės lygties su suderintomis realiosiomis šaknimis sprendimas.
x 2 – 8x + 16 = 0
A = 1, B = -8, C = 16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Pakeiskime
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

3 pavyzdys. Kvadratinės lygties su sudėtingomis šaknimis sprendimas.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A = 1, B = -4, C = 9
D = b 2 - 4AC = 16 - 4 * 13 * 1 = 16 - 52 = -36
Diskriminantas yra neigiamas – šaknys sudėtingos.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, kur I yra kvadratinė šaknis iš -1

Čia iš tikrųjų yra visi galimi kvadratinių lygčių sprendimo atvejai.
Tikimės, kad mūsų internetinis skaičiuotuvas bus jums labai naudinga.
Jei medžiaga buvo naudinga, galite

7 klasės matematikos kurse susiduriame pirmą kartą lygtys su dviem kintamaisiais, tačiau jie tiriami tik lygčių sistemų su dviem nežinomaisiais kontekste. Štai kodėl iš akiračio iškrenta daugybė problemų, kai lygties koeficientams pateikiamos tam tikros sąlygos, kurios juos riboja. Be to, ignoruojami ir tokie uždavinių sprendimo būdai kaip „Išspręskite lygtį natūraliais arba sveikaisiais skaičiais“, nors tokio pobūdžio uždaviniai vis dažniau aptinkami vieningo valstybinio egzamino medžiagoje ir stojamuosiuose egzaminuose.

Kuri lygtis bus vadinama lygtimi su dviem kintamaisiais?

Taigi, pavyzdžiui, lygtys 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 arba xy = 12 yra dviejų kintamųjų lygtys.

Apsvarstykite lygtį 2x – y = 1. Ji išsipildo, kai x = 2 ir y = 3, taigi ši kintamųjų reikšmių pora yra nagrinėjamos lygties sprendimas.

Taigi, bet kurios lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra sutvarkytų porų (x; y) rinkinys, kintamųjų reikšmės, kurios paverčia šią lygtį tikra skaitine lygybe.

Lygtis su dviem nežinomaisiais gali:

A) turi vieną sprendimą. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + 5y 2 = 0 turi unikalų sprendimą (0; 0);

b) turi kelis sprendimus. Pavyzdžiui, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 turi 4 sprendimus: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) neturi sprendimų. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + y 2 + 1 = 0 neturi sprendinių;

G) turi be galo daug sprendimų. Pavyzdžiui, x + y = 3. Šios lygties sprendiniai bus skaičiai, kurių suma lygi 3. Šios lygties sprendinių aibė gali būti užrašoma forma (k; 3 – k), kur k yra bet kokia realioji numerį.

Pagrindiniai lygčių su dviem kintamaisiais sprendimo būdai yra faktoringo išraiškomis pagrįsti metodai, pilno kvadrato išskyrimas, naudojant kvadratinės lygties savybes, ribotas išraiškas ir įvertinimo metodai. Lygtis paprastai transformuojama į formą, iš kurios galima gauti nežinomųjų suradimo sistemą.

Faktorizavimas

1 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: xy – 2 = 2x – y.

Sprendimas.

Sugrupuojame terminus faktorizavimo tikslais:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Iš kiekvieno skliausto išimame bendrą koeficientą:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Turime:

y = 2, x – bet koks realusis skaičius arba x = -1, y – bet koks realusis skaičius.

Taigi, atsakymas yra visos poros formos (x; 2), x € R ir (-1; y), y € R.

Neneigiamų skaičių lygybė nuliui

2 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Sprendimas.

Grupavimas:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Dabar kiekvieną laikiklį galima sulankstyti naudojant skirtumo kvadratu formulę.

(3x – 2) 2 + (2m – 3) 2 = 0.

Dviejų neneigiamų išraiškų suma lygi nuliui tik tada, kai 3x – 2 = 0 ir 2y – 3 = 0.

Tai reiškia, kad x = 2/3 ir y = 3/2.

Atsakymas: (2/3; 3/2).

Įvertinimo metodas

3 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Sprendimas.

Kiekviename skliaustelyje pasirenkame visą kvadratą:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Apskaičiuokime skliausteliuose esančių posakių reikšmė.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ir (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, tada kairioji lygties pusė visada yra bent 2. Lygybė galima, jei:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ir (y – 2) 2 + 2 = 2, o tai reiškia, kad x = -1, y = 2.

Atsakymas: (-1; 2).

Susipažinkime su kitu lygčių su dviem antrojo laipsnio kintamaisiais sprendimo būdu. Šis metodas susideda iš lygties traktavimo kaip kvadratas kokio nors kintamojo atžvilgiu.

4 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Sprendimas.

Išspręskime lygtį kaip kvadratinę x lygtį. Raskime diskriminantą:

D = 36 – 4 (y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4 (√y – 2) 2 . Lygtis turės sprendimą tik tada, kai D = 0, tai yra, jei y = 4. Pakeičiame y reikšmę pradine lygtimi ir nustatome, kad x = 3.

Atsakymas: (3; 4).

Dažnai jie nurodo lygtyse su dviem nežinomaisiais kintamųjų apribojimai.

5 pavyzdys.

Išspręskite lygtį sveikais skaičiais: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Sprendimas.

Perrašykime lygtį į formą x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Dešinioji gautos lygties pusė, padalyta iš 5, duoda liekaną 2. Todėl x 2 nesidalija iš 5. Bet kvadratas a iš 5 nesidalijantis skaičius duoda liekaną 1 arba 4. Taigi lygybė neįmanoma ir sprendinių nėra.

Atsakymas: nėra šaknų.

6 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Sprendimas.

Paryškinkime visus kvadratus kiekviename skliaustelyje:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Kairioji lygties pusė visada yra didesnė arba lygi 3. Lygybė galima su sąlyga |x| – 2 = 0 ir y + 3 = 0. Taigi, x = ± 2, y = -3.

Atsakymas: (2; -3) ir (-2; -3).

7 pavyzdys.

Kiekvienai neigiamų sveikųjų skaičių (x;y) porai, atitinkančiai lygtį
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, apskaičiuokite sumą (x + y). Atsakyme nurodykite mažiausią sumą.

Sprendimas.

Pažymime pilnus kvadratus:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kadangi x ir y yra sveikieji skaičiai, jų kvadratai taip pat yra sveikieji skaičiai. Dviejų sveikųjų skaičių kvadratų sumą gauname 37, jei sudedame 1 + 36. Todėl:

(x – y) 2 = 36 ir (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ir (y + 2) 2 = 36.

Išspręsdami šias sistemas ir atsižvelgdami į tai, kad x ir y yra neigiami, randame sprendinius: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Atsakymas: -17.

Nenusiminkite, jei jums sunku išspręsti lygtis su dviem nežinomaisiais. Šiek tiek praktikuodami galite valdyti bet kokią lygtį.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti dviejų kintamųjų lygtis?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

I. Tiesinės lygtys

II. Kvadratinės lygtys

kirvis 2 + bx +c= 0, a≠ 0, kitaip lygtis tampa tiesinė

Galima apskaičiuoti kvadratinės lygties šaknis Skirtingi keliai, Pavyzdžiui:

Mes gerai sprendžiame kvadratines lygtis. Daugelis aukštesnio laipsnio lygčių gali būti redukuojamos į kvadratines lygtis.

III. Lygtys sumažintos iki kvadratinės.

kintamojo pokytis: a) bikvadratinė lygtis kirvis 2n+ bx n+ c = 0,a ≠ 0,n ≥ 2

2) simetrinė 3 laipsnio lygtis – formos lygtis

3) 4 laipsnio simetrinė lygtis – formos lygtis

kirvis 4 + bx 3 + cx 2 +bx + a = 0, a≠ 0, koeficientai a b c b a arba

kirvis 4 + bx 3 + cx 2 –bx + a = 0, a≠ 0, koeficientai a b c (–b) a

Nes x= 0 nėra lygties šaknis, tada galima padalyti abi lygties puses iš x 2, tada gauname: .

Atlikdami pakaitalą išsprendžiame kvadratinę lygtį a(t 2 – 2) + bt + c = 0

Pavyzdžiui, išspręskime lygtį x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0, padalinkite abi puses iš x 2 ,

, po pakeitimo gauname lygtį t 2 – 2t – 3 = 0

– lygtis neturi šaknų.

4) Formos lygtis ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Ax 2, koeficientai ab = cd

Pavyzdžiui, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Padauginę 1–4 ir 2–3 skliaustus, gauname ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2, padalykite abi lygties puses iš x 2, gauname:

Mes turime ( t+ 14)(t + 11) = 4.

5) 2 laipsnio vienalytė lygtis - P(x,y) = 0 formos lygtis, kur P(x,y) yra daugianario, kurio kiekvienas narys turi 2 laipsnį.

Atsakymas: -2; -0,5; 0

IV. Visos aukščiau pateiktos lygtys yra atpažįstamos ir tipiškos, bet kaip su savavališkos formos lygtimis?

Tegu pateiktas daugianomas P n ( x) = a n x n+ a n-1 x n-1 + ...+ a 1x+ a 0, kur a n ≠ 0

Panagrinėkime lygties laipsnio mažinimo metodą.

Yra žinoma, kad jei koeficientai a yra sveikieji skaičiai ir a n = 1, tada sveikosios lygties šaknys P n ( x) = 0 yra tarp laisvojo nario daliklių a 0 . Pavyzdžiui, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0, skaičiaus 5 dalikliai yra skaičiai 5; -5; 1; -1. Tada P 4 (1) = 0, t.y. x= 1 yra lygties šaknis. Sumažinkime lygties laipsnį P 4 (x) = 0 daugianarį su „kampu“ padalinę iš koeficiento x –1, gauname

P 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Taip pat, P 3 (1) = 0, tada P 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5), t.y. lygtis P 4 (x) = 0 turi šaknis x 1 = x 2 = 1. Parodykime trumpesnį šios lygties sprendinį (naudodami Hornerio schemą).

Reiškia, x 1 = 1 reiškia x 2 = 1.

Taigi, ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Ką mes padarėme? Mes sumažinome lygties laipsnį.

V. Apsvarstykite 3 ir 5 laipsnio simetriškas lygtis.

A) kirvis 3 + bx 2 + bx + a= 0, aišku x= –1 yra lygties šaknis, tada lygties laipsnį sumažiname iki dviejų.

b) kirvis 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a= 0, aišku x= –1 yra lygties šaknis, tada lygties laipsnį sumažiname iki dviejų.

Pavyzdžiui, parodykime 2 lygties sprendimą x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

x = –1

Mes gauname ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. Tai reiškia, kad lygties šaknys yra: 1; 1; -1; –2; –0,5.

VI. Čia yra įvairių lygčių, kurias reikia išspręsti klasėje ir namuose, sąrašas.

Siūlau skaitytojui pačiam išspręsti 1–7 lygtis ir gauti atsakymus...

Panagrinėkime lygtį x^2=a, kur a gali būti savavališkas skaičius. Yra trys šios lygties sprendimo atvejai, priklausomai nuo reikšmės, kurią įgauna skaičius a (a0).

Panagrinėkime kiekvieną atvejį atskirai.

Skirtingų lygties x^2=a atvejų pavyzdžiai

x^2=a, a<0

Kadangi bet kurio tikrojo skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas skaičius, lygtis x^2=a, a

x^2=a, kai a=0

Šiuo atveju lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis yra skaičius 0. Kadangi lygtį galima perrašyti į x*x=0, kartais taip pat sakoma, kad ši lygtis turi dvi šaknis, kurios yra lygios viena kitai ir lygios 0.

x^2=a, jei a>0

Šiuo atveju lygtis x^2=a, a, ji sprendžiama taip. Pirmiausia pereiname į kairę pusę.

Iš kvadratinės šaknies apibrėžimo matyti, kad a galima parašyti tokia forma: a=(√a)^2. Tada lygtį galima perrašyti taip:

x^2 – (√a)^2 = 0.

Kairėje pusėje matome kvadratų skirtumo formulę; išplėskime ją.

(x+√a)*(x-√a)=0;

Dviejų skliaustų sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Vadinasi,

Vadinasi, x1=√a x2=-√a.

Šį sprendimą galima patikrinti nubraižant grafiką.

Pavyzdžiui, padarykime tai lygčiai x^2 = 4.

Norėdami tai padaryti, turite sukurti du grafikus y=x^2 ir y=4. Ir pažiūrėkite į jų susikirtimo taškų x koordinates. Šaknys turi būti 2 ir -2. Viskas aiškiai matosi paveikslėlyje.

Reikia pagalbos studijuojant?