नकारात्मक घातांक वाले घात को कैसे बढ़ाया जाए। शक्ति अभिव्यक्तियाँ (शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियाँ) एवं उनका परिवर्तन। सकारात्मक और नकारात्मक डिग्री

बीजगणित और समस्त गणित में मुख्य विशेषताओं में से एक डिग्री है। बेशक, 21वीं सदी में, सभी गणनाएँ ऑनलाइन कैलकुलेटर पर की जा सकती हैं, लेकिन मस्तिष्क के विकास के लिए यह सीखना बेहतर है कि इसे स्वयं कैसे किया जाए।

इस लेख में हम इस परिभाषा से संबंधित सबसे महत्वपूर्ण मुद्दों पर विचार करेंगे। अर्थात्, आइए समझें कि यह सामान्य रूप से क्या है और इसके मुख्य कार्य क्या हैं, गणित में क्या गुण हैं।

आइए उदाहरण देखें कि गणना कैसी दिखती है और मूल सूत्र क्या हैं। आइए मुख्य प्रकार की मात्राओं पर नजर डालें और वे अन्य कार्यों से कैसे भिन्न हैं।

आइए समझें कि इस मात्रा का उपयोग करके विभिन्न समस्याओं को कैसे हल किया जाए। हम उदाहरणों के साथ दिखाएंगे कि शून्य शक्ति, तर्कहीन, नकारात्मक आदि को कैसे बढ़ाया जाए।

ऑनलाइन घातांक कैलकुलेटर

किसी संख्या की शक्ति क्या है

"किसी संख्या को घात तक बढ़ाएँ" अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है?

किसी संख्या की घात n एक पंक्ति में n बार परिमाण के कारकों का गुणनफल है।

गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है:

ए एन = ए * ए * ए * …ए एन।

उदाहरण के लिए:

• तीसरी डिग्री में 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 से कदम. दो = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 से कदम. चार = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 चरणों में। = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 चरणों में। = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

नीचे 1 से 10 तक वर्गों और घनों की एक तालिका है।

1 से 10 तक डिग्री की तालिका

प्राकृतिक संख्याओं को सकारात्मक घातों तक बढ़ाने के परिणाम नीचे दिए गए हैं - "1 से 100 तक"।

डिग्री के गुण

ऐसे गणितीय फलन की विशेषता क्या है? आइए मूल गुणों पर नजर डालें।

वैज्ञानिकों ने निम्नलिखित स्थापित किया है सभी डिग्रियों की विशेषता वाले संकेत:

• ए एन * ए एम = (ए) (एन+एम) ;
• ए एन: ए एम = (ए) (एन-एम) ;
• (ए बी) एम =(ए) (बी*एम) .

आइए उदाहरणों से जांचें:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. दूसरी ओर, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

इसी प्रकार: 2 3: 2 2 = 8/4 =2. अन्यथा 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. यदि यह भिन्न है तो क्या होगा? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

जैसा कि आप देख सकते हैं, नियम काम करते हैं।

लेकिन क्या बारे में जोड़ और घटाव के साथ? यह आसान है। घातांक पहले किया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।

आइए उदाहरण देखें:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16। कृपया ध्यान दें: यदि आप पहले घटाते हैं तो नियम मान्य नहीं होगा: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4।

लेकिन इस मामले में, आपको पहले जोड़ की गणना करने की आवश्यकता है, क्योंकि कोष्ठक में क्रियाएं हैं: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512।

कैसे उत्पादन करें अधिक जटिल मामलों में गणना? क्रम वही है:

• यदि कोष्ठक हैं, तो आपको उनसे शुरुआत करने की आवश्यकता है;
• फिर घातांक;
• फिर गुणा और भाग की संक्रियाएँ निष्पादित करें;
• जोड़ने, घटाने के बाद.

ऐसे विशिष्ट गुण हैं जो सभी डिग्री की विशेषता नहीं हैं:

1. किसी संख्या a से m डिग्री का nवाँ मूल इस प्रकार लिखा जाएगा: a m/n।
2. किसी भिन्न को घात तक बढ़ाते समय: अंश और उसका हर दोनों इस प्रक्रिया के अधीन होते हैं।
3. विभिन्न संख्याओं के गुणनफल को एक घात तक बढ़ाने पर, अभिव्यक्ति इन संख्याओं के गुणनफल को दी गई घात के अनुरूप होगी। वह है: (ए * बी) एन = ए एन * बी एन।
4. किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ाते समय, आपको 1 को उसी सदी की एक संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन "+" चिह्न के साथ।
5. यदि किसी भिन्न का हर ऋणात्मक घात वाला है, तो यह अभिव्यक्ति अंश के गुणनफल और हर के धनात्मक घात के गुणनफल के बराबर होगी।
6. किसी भी संख्या की घात 0 = 1, और घात। 1 = अपने आप को.

ये नियम कुछ मामलों में महत्वपूर्ण हैं; हम उन पर नीचे अधिक विस्तार से विचार करेंगे।

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री

माइनस डिग्री के साथ क्या करें, यानी जब संकेतक नकारात्मक हो?

गुण 4 और 5 के आधार पर(ऊपर बिंदु देखें), यह पता चला है:

ए (- एन) = 1 / ए एन, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25।

और इसके विपरीत:

1 / ए (- एन) = ए एन, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

यदि यह एक अंश है तो क्या होगा?

(ए/बी) (- एन) = (बी/ए) एन, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9।

प्राकृतिक सूचक के साथ डिग्री

इसे पूर्णांकों के बराबर घातांक वाली डिग्री के रूप में समझा जाता है।

याद रखने वाली चीज़ें:

ए 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...आदि।

ए 1 = ए, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...आदि.

इसके अलावा, यदि (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...तो परिणाम "+" चिह्न के साथ होगा। यदि किसी ऋणात्मक संख्या को विषम घात तक बढ़ा दिया जाए, तो इसके विपरीत।

सामान्य गुण और ऊपर वर्णित सभी विशिष्ट विशेषताएं भी उनकी विशेषता हैं।

आंशिक डिग्री

इस प्रकार को एक योजना के रूप में लिखा जा सकता है: ए एम / एन। इस प्रकार पढ़ें: संख्या A से घात m तक nवाँ मूल।

आप भिन्नात्मक संकेतक के साथ जो चाहें कर सकते हैं: इसे कम करें, इसे भागों में विभाजित करें, इसे किसी अन्य शक्ति तक बढ़ाएं, आदि।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

मान लीजिए α एक अपरिमेय संख्या है और A ˃ 0 है।

ऐसे संकेतक के साथ डिग्री के सार को समझने के लिए, आइए विभिन्न संभावित मामलों पर नजर डालें:

• A = 1. परिणाम 1 के बराबर होगा। चूँकि एक स्वयंसिद्ध कथन है - सभी घातों में 1 एक के बराबर है;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 - परिमेय संख्याएँ;

• 0˂А˂1.

इस मामले में, यह दूसरा तरीका है: ए आर 2 ˂ ए α ˂ ए आर 1 दूसरे पैराग्राफ की समान शर्तों के तहत।

उदाहरण के लिए, घातांक संख्या π है।यह तर्कसंगत है.

आर 1 - इस मामले में 3 के बराबर है;

आर 2 – 4 के बराबर होगा.

फिर, A = 1 के लिए, 1 π = 1.

ए = 2, फिर 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

ए = 1/2, फिर (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8।

ऐसी डिग्रियों की विशेषता ऊपर वर्णित सभी गणितीय संक्रियाओं और विशिष्ट गुणों से होती है।

निष्कर्ष

आइए संक्षेप में बताएं - ये मात्राएँ किस लिए आवश्यक हैं, ऐसे कार्यों के क्या फायदे हैं? बेशक, सबसे पहले, वे उदाहरणों को हल करते समय गणितज्ञों और प्रोग्रामर के जीवन को सरल बनाते हैं, क्योंकि वे उन्हें गणनाओं को कम करने, एल्गोरिदम को छोटा करने, डेटा को व्यवस्थित करने और बहुत कुछ करने की अनुमति देते हैं।

यह ज्ञान और कहाँ उपयोगी हो सकता है? किसी भी कामकाजी विशेषता में: चिकित्सा, औषध विज्ञान, दंत चिकित्सा, निर्माण, प्रौद्योगिकी, इंजीनियरिंग, डिजाइन, आदि।

स्कूल से, हम सभी घातांक के बारे में नियम जानते हैं: घातांक N वाली कोई भी संख्या इस संख्या को N संख्या से कई बार गुणा करने के परिणाम के बराबर होती है। दूसरे शब्दों में, 3 की घात 7 को 7 से तीन गुना गुणा किया जाता है, अर्थात 343। एक अन्य नियम यह है कि किसी भी मात्रा को 0 की घात तक बढ़ाने पर एक मिलता है, और एक ऋणात्मक मात्रा को बढ़ाने पर सामान्य वृद्धि का परिणाम होता है यदि यह सम है तो शक्ति, और यदि यह विषम है तो ऋण चिह्न के साथ समान परिणाम।

नियम यह भी उत्तर देते हैं कि किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए। ऐसा करने के लिए, आपको सामान्य तरीके से संकेतक के मापांक द्वारा आवश्यक मान बढ़ाना होगा, और फिर परिणाम से इकाई को विभाजित करना होगा।

इन नियमों से यह स्पष्ट हो जाता है कि बड़ी मात्रा में शामिल वास्तविक कार्यों को करने के लिए तकनीकी साधनों की उपलब्धता की आवश्यकता होगी। मैन्युअल रूप से आप स्वयं से संख्याओं की अधिकतम सीमा को बीस से तीस तक गुणा कर सकते हैं, और उसके बाद तीन या चार बार से अधिक नहीं। इसका मतलब किसी को परिणाम से विभाजित करना नहीं है। इसलिए, उन लोगों के लिए जिनके पास विशेष इंजीनियरिंग कैलकुलेटर नहीं है, हम आपको बताएंगे कि एक्सेल में किसी संख्या को नकारात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए।

एक्सेल में समस्याओं का समाधान

घातांक से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए, एक्सेल आपको दो विकल्पों में से एक का उपयोग करने की अनुमति देता है।

पहला मानक "ढक्कन" चिह्न वाले सूत्र का उपयोग है। कार्यपत्रक कक्षों में निम्नलिखित डेटा दर्ज करें:

उसी तरह, आप वांछित मान को किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं - नकारात्मक, भिन्नात्मक। आइए निम्नलिखित चरणों का पालन करें और इस प्रश्न का उत्तर दें कि किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए। उदाहरण:

आप =B2^-C2 को सीधे सूत्र में सही कर सकते हैं।

दूसरा विकल्प तैयार "डिग्री" फ़ंक्शन का उपयोग करना है, जो दो आवश्यक तर्क लेता है - एक संख्या और एक घातांक। इसका उपयोग शुरू करने के लिए, बस किसी भी मुक्त सेल में समान चिह्न (=) डालें, जो सूत्र की शुरुआत को दर्शाता है, और उपरोक्त शब्द दर्ज करें। जो कुछ बचा है वह दो कोशिकाओं का चयन करना है जो ऑपरेशन में भाग लेंगे (या मैन्युअल रूप से विशिष्ट संख्याएं निर्दिष्ट करेंगे) और एंटर कुंजी दबाएं। आइए कुछ सरल उदाहरण देखें.

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सेल का उपयोग करके किसी संख्या को नकारात्मक घात और नियमित घात तक कैसे बढ़ाया जाए, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। आखिरकार, इस समस्या को हल करने के लिए, आप परिचित "ढक्कन" प्रतीक और प्रोग्राम के अंतर्निहित फ़ंक्शन दोनों का उपयोग कर सकते हैं, जिसे याद रखना आसान है। यह एक निश्चित प्लस है!

आइए अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें। आइए नियम को याद रखें कि किसी संख्या को ऋणात्मक भिन्नात्मक घात तक कैसे बढ़ाया जाए, और हम देखेंगे कि एक्सेल में यह समस्या बहुत आसानी से हल हो गई है।

भिन्नात्मक संकेतक

संक्षेप में, भिन्नात्मक घातांक के साथ किसी संख्या की गणना करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है।

1. भिन्न को उचित या अनुचित भिन्न में बदलें।
2. हमारी संख्या को परिणामी परिवर्तित भिन्न के अंश तक बढ़ाएँ।
3. पिछले पैराग्राफ में प्राप्त संख्या से मूल की गणना करें, इस शर्त के साथ कि मूल का घातांक पहले चरण में प्राप्त भिन्न का हर होगा।

सहमत हूँ कि छोटी संख्याओं और उचित भिन्नों के साथ काम करते समय भी, ऐसी गणनाओं में बहुत समय लग सकता है। यह अच्छा है कि एक्सेल स्प्रेडशीट प्रोसेसर को इसकी परवाह नहीं है कि किस संख्या को किस शक्ति तक बढ़ाया गया है। एक्सेल वर्कशीट पर निम्नलिखित उदाहरण को हल करने का प्रयास करें:

उपरोक्त नियमों का उपयोग करके, आप जांच कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि गणना सही ढंग से की गई है।

हमारे लेख के अंत में, हम सूत्रों और परिणामों के साथ एक तालिका के रूप में किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ाने के कई उदाहरण प्रस्तुत करेंगे, साथ ही भिन्नात्मक संख्याओं और घातों के साथ संचालन के कई उदाहरण भी प्रस्तुत करेंगे।

उदाहरण तालिका

अपने एक्सेल वर्कशीट में निम्नलिखित उदाहरण देखें। सब कुछ सही ढंग से काम करने के लिए, आपको सूत्र की प्रतिलिपि बनाते समय मिश्रित संदर्भ का उपयोग करने की आवश्यकता है। उठाए जाने वाले नंबर वाले कॉलम की संख्या और संकेतक वाली पंक्ति की संख्या तय करें। आपका फॉर्मूला कुछ इस तरह दिखना चाहिए: "=$B4^C$3।"

कृपया ध्यान दें कि धनात्मक संख्याओं (यहां तक ​​कि गैर-पूर्णांक) की गणना किसी भी घातांक के लिए समस्याओं के बिना की जा सकती है। किसी भी संख्या को पूर्णांक तक बढ़ाने में कोई समस्या नहीं है। लेकिन एक ऋणात्मक संख्या को भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना आपके लिए एक गलती साबित होगी, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं को बढ़ाने के बारे में हमारे लेख की शुरुआत में बताए गए नियम का पालन करना असंभव है, क्योंकि समता विशेष रूप से एक पूर्ण संख्या की विशेषता है।

कृपया ध्यान दें कि यह खंड अवधारणा पर चर्चा करता है केवल प्राकृतिक घातांक वाली डिग्रीऔर शून्य.

तर्कसंगत घातांक (नकारात्मक और भिन्नात्मक के साथ) के साथ शक्तियों की अवधारणा और गुणों पर कक्षा 8 के पाठों में चर्चा की जाएगी।

तो, आइए जानें कि किसी संख्या की शक्ति क्या है।किसी संख्या का गुणनफल स्वयं लिखने के लिए संक्षिप्त अंकन का प्रयोग कई बार किया जाता है।

छह समान गुणनखंडों के गुणनफल 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 के स्थान पर 4 6 लिखें और कहें "चार से छठी घात"।

व्यंजक 4 6 को किसी संख्या की घात कहा जाता है, जहाँ:

• 4 — डिग्री आधार;
• 6 — प्रतिपादक.

सामान्य तौर पर, आधार "ए" और घातांक "एन" वाली डिग्री अभिव्यक्ति का उपयोग करके लिखी जाती है:

याद करना!

1 से अधिक प्राकृतिक घातांक "एन" वाली संख्या "ए" की शक्ति "एन" समान कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक संख्या "ए" के बराबर है।

प्रविष्टि "a n" इस प्रकार है: "a से n की घात" या "संख्या a की nवीं घात"।

अपवाद निम्नलिखित प्रविष्टियाँ हैं:

• ए 2 - इसका उच्चारण "एक वर्ग" के रूप में किया जा सकता है;
• ए 3 - इसका उच्चारण "एक घन" के रूप में किया जा सकता है।

• ए 2 - "ए से दूसरी शक्ति";
• ए 3 - "ए से तीसरी शक्ति।"

विशेष मामले तब उत्पन्न होते हैं जब घातांक एक या शून्य (n = 1; n = 0) के बराबर होता है।

याद करना!

घातांक n = 1 वाली संख्या "a" की घात यह संख्या ही है:
ए 1 = ए

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।
ए 0 = 1

किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।
0 एन = 0

किसी भी घात का एक, 1 के बराबर होता है।
1 एन = 1

अभिव्यक्ति 0 0 ( शून्य से शून्य शक्ति) अर्थहीन माने जाते हैं।

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

उदाहरणों को हल करते समय, आपको यह याद रखना होगा कि किसी घात तक बढ़ाने का अर्थ किसी घात तक बढ़ाने के बाद एक संख्यात्मक या अक्षर मान ढूंढना है।

उदाहरण। एक शक्ति तक बढ़ाएँ.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 2.5 = 6.25
• ( · = = 81

  256

किसी ऋणात्मक संख्या को घात तक बढ़ाना

आधार (वह संख्या जिसे घात तक बढ़ाया जाता है) कोई भी संख्या हो सकती है - धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य।

याद करना!

किसी धनात्मक संख्या को घात तक बढ़ाने पर एक धनात्मक संख्या उत्पन्न होती है।

जब शून्य को प्राकृतिक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो परिणाम शून्य होता है।

जब किसी ऋणात्मक संख्या को घात तक बढ़ाया जाता है, तो परिणाम या तो धनात्मक संख्या या ऋणात्मक संख्या हो सकता है। यह इस पर निर्भर करता है कि घातांक सम संख्या थी या विषम संख्या।

आइए ऋणात्मक संख्याओं को घातों तक बढ़ाने के उदाहरण देखें।

विचार किए गए उदाहरणों से, यह स्पष्ट है कि यदि एक ऋणात्मक संख्या को एक विषम घात तक बढ़ाया जाता है, तो एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। चूँकि विषम संख्या में ऋणात्मक कारकों का गुणनफल ऋणात्मक होता है।

यदि किसी ऋणात्मक संख्या को सम घात तक बढ़ा दिया जाए तो वह एक धनात्मक संख्या बन जाती है। चूँकि सम संख्या में ऋणात्मक कारकों का गुणनफल धनात्मक होता है।

याद करना!

एक ऋणात्मक संख्या को सम घात तक बढ़ाने पर वह एक धनात्मक संख्या होती है।

एक विषम घात तक बढ़ाई गई ऋणात्मक संख्या एक ऋणात्मक संख्या होती है।

किसी भी संख्या का वर्ग एक धनात्मक संख्या या शून्य होता है, अर्थात:

किसी भी ए के लिए 2 ≥ 0।

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

टिप्पणी!

घातांक के उदाहरणों को हल करते समय अक्सर गलतियाँ हो जाती हैं, यह भूलकर कि प्रविष्टियाँ (−5) 4 और −5 4 अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ हैं। इन भावों को शक्तियों तक बढ़ाने के परिणाम अलग-अलग होंगे।

(−5) 4 की गणना करने का अर्थ है किसी ऋणात्मक संख्या की चौथी घात का मान ज्ञात करना।

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

जबकि "−5 4" खोजने का मतलब है कि उदाहरण को 2 चरणों में हल करने की आवश्यकता है:

1. धनात्मक संख्या 5 को चौथी घात तक बढ़ाएँ।
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. प्राप्त परिणाम के सामने ऋण चिह्न लगाएं (अर्थात् घटाव क्रिया करें)।
   −5 4 = −625

उदाहरण। गणना करें: −6 2 − (−1) 4

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

डिग्री के साथ उदाहरणों में प्रक्रिया

किसी मान की गणना करना घातांक की क्रिया कहलाती है। यह तीसरे चरण की कार्रवाई है.

याद करना!

उन घातों वाले व्यंजकों में जिनमें कोष्ठक नहीं हैं, पहले करें घातांक, तब गुणन और भाग, और अंत में जोड़ना और घटाना.

यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो पहले ऊपर बताए गए क्रम में कोष्ठक में क्रियाएं करें, और फिर शेष क्रियाएं बाएं से दाएं उसी क्रम में करें।

उदाहरण। गणना करें:

उदाहरणों को हल करना आसान बनाने के लिए, शक्तियों की तालिका को जानना और उसका उपयोग करना उपयोगी है, जिसे आप हमारी वेबसाइट पर मुफ्त में डाउनलोड कर सकते हैं।

अपना परिणाम जांचने के लिए आप हमारी वेबसाइट पर कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एक नकारात्मक घातांक के साथ घातांक। समस्या समाधान की परिभाषा और उदाहरण"

अतिरिक्त सामग्री
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ऋणात्मक घातांक के साथ डिग्री का निर्धारण

हम अच्छी तरह जानते हैं कि शून्य घात तक की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है। $a^0=1$, $a≠0$.
प्रश्न उठता है कि यदि आप किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ा दें तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, संख्या $2^(-2)$ किसके बराबर होगी?
यह प्रश्न पूछने वाले पहले गणितज्ञों ने निर्णय लिया कि पहिये का पुन: आविष्कार करना उचित नहीं है, और यह अच्छा था कि डिग्रियों के सभी गुण समान रहे। अर्थात्, समान आधार से घातों को गुणा करने पर घातांक जुड़ जाते हैं।
आइए इस मामले पर विचार करें: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
हमने पाया कि ऐसी संख्याओं का गुणनफल एक देना चाहिए। उत्पाद में इकाई पारस्परिक संख्याओं को गुणा करके प्राप्त की जाती है, अर्थात, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

इस तरह के तर्क से निम्नलिखित परिभाषा सामने आई।
परिभाषा। यदि $n$ एक प्राकृत संख्या है और $a≠0$, तो समानता इस प्रकार है: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

एक महत्वपूर्ण पहचान जो अक्सर उपयोग की जाती है वह है: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
विशेष रूप से, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

समाधान के उदाहरण

समाधान।
आइए प्रत्येक पद पर अलग से विचार करें।
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
इसमें जोड़ और घटाव संचालन करना बाकी है: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1)(4)$.
उत्तर: $6\frac(1)(4)$.

उदाहरण 2.
दी गई संख्या को अभाज्य संख्या $\frac(1)(729)$ की घात के रूप में निरूपित करें।

समाधान।
जाहिर है, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
लेकिन 729 9 पर समाप्त होने वाली एक अभाज्य संख्या नहीं है। यह माना जा सकता है कि यह संख्या तीन की घात है। 729 को लगातार 3 से विभाजित करें।
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
छह ऑपरेशन किए गए और इसका मतलब है: $729=3^6$।
हमारे कार्य के लिए:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
उत्तर: $3^(-6)$.

उदाहरण 3. अभिव्यक्ति को एक घात के रूप में व्यक्त करें: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
समाधान। पहली क्रिया हमेशा कोष्ठक के अंदर की जाती है, फिर गुणा $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
उत्तर: $a$.

उदाहरण 4. पहचान सिद्ध करें:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

समाधान।
बाईं ओर, हम कोष्ठक में प्रत्येक कारक पर अलग से विचार करते हैं।
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. आइए उस भिन्न पर चलते हैं जिससे हम विभाजित कर रहे हैं।
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. चलो बंटवारा करते हैं.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
हमें सही पहचान मिल गई, जिसे हमें साबित करना था।

पाठ के अंत में, हम एक बार फिर शक्तियों के साथ काम करने के नियम लिखेंगे, यहाँ घातांक एक पूर्णांक है।
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

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