प्रपत्र का समीकरण cosx a. त्रिकोणमितीय समीकरण - सूत्र, समाधान, उदाहरण। भिन्नात्मक तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

आप अपनी समस्या का विस्तृत समाधान ऑर्डर कर सकते हैं!!!

एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tan x` या `ctg x`) के चिह्न के नीचे एक अज्ञात युक्त समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और यह उनके सूत्र हैं जिन पर हम आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई संख्या है। आइए हम उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि साइन के मामले में होता है, इसका वास्तविक संख्याओं के बीच कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ग्राफ़ में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`a` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसके अलावा `ए` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइन के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में बदलने की सहायता से;
• ऊपर लिखे मूल सूत्रों और तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त सरलतम समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके मुख्य समाधान विधियों को देखें।

बीजगणितीय विधि.

इस पद्धति में एक चर को प्रतिस्थापित करना और उसे एक समानता में प्रतिस्थापित करना शामिल है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हम मूल पाते हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिससे दो मामले आते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडीकरण।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `sin x+cos x=1`.

समाधान। आइए समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में कम करना होगा:

`a syn x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a syn^2 x + b syn x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर दोनों भागों को पहले मामले के लिए `cos x \ne 0` से विभाजित करें, और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x` के लिए समीकरण मिलते हैं: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0`, जिन्हें ज्ञात तरीकों का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

समाधान। आइए दाएँ पक्ष को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 पाप^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 पाप^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` पाप^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण है, हम इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. आइए प्रतिस्थापन `tg x=t` का परिचय दें, जिसके परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0` होता है। इस समीकरण की जड़ें `t_1=-2` और `t_2=1` हैं। तब:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

उत्तर। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

आधे कोण की ओर बढ़ना

उदाहरण। समीकरण हल करें: `11 पाप x - 2 cos x = 10`।

समाधान। आइए दोहरे कोण सूत्रों को लागू करें, जिसके परिणामस्वरूप: `22 पाप (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 पाप^2 x/2=` `10 पाप^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

उत्तर। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण `a syn x + b cos x =c` में, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, दोनों पक्षों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करें:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) syn x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =`\frac c(sqrt (a^2) ) +बी^2))`.

बाईं ओर के गुणांकों में साइन और कोसाइन के गुण हैं, अर्थात् उनके वर्गों का योग 1 के बराबर है और उनके मॉड्यूल 1 से अधिक नहीं हैं। आइए हम उन्हें इस प्रकार निरूपित करें: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =सी`, फिर:

`cos \varphi पाप x + पाप \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण हल करें: `3sin x+4 cos x=2`.

समाधान। समानता के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` ​​से विभाजित करें, हमें मिलता है:

`\frac (3 पाप x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 cos x=2/5`.

आइए निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, तो हम `\varphi=arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। फिर हम अपनी समानता को इस रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi syn x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

भिन्नात्मक तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनके अंश और हर में त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

समाधान। समानता के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

`\frac ((sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह मानते हुए कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, हमें `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिलता है।

आइए भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` और `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

उत्तर। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। पढ़ाई 10वीं कक्षा में शुरू होती है, एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद करने का प्रयास करें - वे निश्चित रूप से आपके लिए उपयोगी होंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद रखने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात सार को समझना और उसे प्राप्त करने में सक्षम होना है। यह उतना कठिन नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए.

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण, एक नियम के रूप में, सूत्रों का उपयोग करके हल किए जाते हैं। मैं आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं:

सिनएक्स = ए

कॉसक्स = ए

टीजीएक्स = ए

सीटीजीएक्स = ए

x वह कोण है जिसे पाया जाना है,
a कोई संख्या है.

और यहां वे सूत्र हैं जिनकी सहायता से आप इन सरलतम समीकरणों के समाधान तुरंत लिख सकते हैं।

साइन के लिए:

कोसाइन के लिए:

x = ± आर्ककोस ए + 2π एन, एन ∈ जेड

स्पर्शरेखा के लिए:

एक्स = आर्कटैन ए + π एन, एन ∈ जेड

कोटैंजेंट के लिए:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

दरअसल, यह सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का सैद्धांतिक हिस्सा है। इसके अलावा, सब कुछ!) कुछ भी नहीं। हालाँकि, इस विषय पर त्रुटियों की संख्या चार्ट से बिल्कुल बाहर है। विशेषकर यदि उदाहरण टेम्पलेट से थोड़ा हटकर हो। क्यों?

हाँ, क्योंकि बहुत से लोग ये पत्र लिखते हैं, बिना उनका मतलब समझे!वह सावधानी से लिखता है, कहीं कुछ घटित न हो जाए...) इसे सुलझाने की जरूरत है। लोगों के लिए त्रिकोणमिति, या त्रिकोणमिति के लिए लोग, आख़िरकार!?)

आइए इसका पता लगाएं?

एक कोण बराबर होगा आर्ककोस ए, दूसरा: -आर्कोस ए.

और यह हमेशा इसी तरह से काम करेगा.किसी के लिए एक।

यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो अपने माउस को चित्र पर घुमाएँ, या अपने टेबलेट पर चित्र को स्पर्श करें।) मैंने नंबर बदल दिया है ए किसी नकारात्मक चीज़ के लिए. वैसे भी, हमें एक कोना मिल गया आर्ककोस ए, दूसरा: -आर्कोस ए.

इसलिए, उत्तर को हमेशा जड़ों की दो श्रृंखलाओं के रूप में लिखा जा सकता है:

x 1 = आर्ककोस ए + 2π एन, एन ∈ जेड

x 2 = - आर्ककोस ए + 2π एन, एन ∈ जेड

आइए इन दोनों श्रृंखलाओं को एक में संयोजित करें:

x= ± आर्ककोस ए + 2π एन, एन ∈ जेड

और यह सबकुछ है। हमने कोज्या के साथ सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त किया है।

यदि आप समझते हैं कि यह किसी प्रकार का अतिवैज्ञानिक ज्ञान नहीं है, बल्कि उत्तरों की दो शृंखलाओं का एक संक्षिप्त संस्करण,आप "सी" कार्यों को भी संभालने में सक्षम होंगे। असमानताओं के साथ, किसी दिए गए अंतराल से जड़ों का चयन करने के साथ... वहां प्लस/माइनस वाला उत्तर काम नहीं करता है। लेकिन यदि आप उत्तर को व्यवसायिक तरीके से लेते हैं और इसे दो अलग-अलग उत्तरों में तोड़ देते हैं, तो सब कुछ हल हो जाएगा।) दरअसल, इसीलिए हम इस पर गौर कर रहे हैं। क्या, कैसे और कहाँ.

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण में

सिनएक्स = ए

हमें जड़ों की दो श्रृंखलाएँ भी मिलती हैं। हमेशा। और इन दोनों सीरीज को रिकॉर्ड भी किया जा सकता है एक पंक्ति में. केवल यह पंक्ति अधिक पेचीदा होगी:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

लेकिन सार वही रहता है. गणितज्ञों ने बस जड़ों की श्रृंखला के लिए दो प्रविष्टियों के बजाय एक बनाने के लिए एक सूत्र तैयार किया। बस इतना ही!

आइए गणितज्ञों की जाँच करें? और आप कभी नहीं जानते...)

पिछले पाठ में, साइन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान (बिना किसी सूत्र के) पर विस्तार से चर्चा की गई थी:

उत्तर के परिणामस्वरूप जड़ों की दो श्रृंखलाएँ प्राप्त हुईं:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

यदि हम उसी समीकरण को सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं, तो हमें उत्तर मिलता है:

एक्स = (-1) एन आर्क्सिन 0.5 + π एन, एन ∈ जेड

दरअसल, यह एक अधूरा उत्तर है।) छात्र को यह पता होना चाहिए आर्क्सिन 0.5 = π /6.पूरा उत्तर होगा:

एक्स = (-1) एन π /6+ π एन, एन ∈ जेड

इससे एक दिलचस्प सवाल उठता है. के माध्यम से उत्तर दें एक्स 1; एक्स 2 (यह सही उत्तर है!) और अकेलेपन के माध्यम से एक्स (और यह सही उत्तर है!) - क्या वे एक ही चीज़ हैं या नहीं? हम अभी पता लगाएंगे।)

हम उत्तर में इसे प्रतिस्थापित करते हैं एक्स 1 मान एन =0; 1; 2; आदि, हम गिनते हैं, हमें जड़ों की एक श्रृंखला मिलती है:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 और इसी तरह।

प्रतिक्रिया में उसी प्रतिस्थापन के साथ एक्स 2 , हम पाते हैं:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 और इसी तरह।

अब मानों को प्रतिस्थापित करते हैं एन (0; 1; 2; 3; 4...) एकल के सामान्य सूत्र में एक्स . अर्थात्, हम शून्य से एक को शून्य शक्ति तक बढ़ाते हैं, फिर पहले, दूसरे, आदि तक। खैर, निःसंदेह, हम दूसरे पद में 0 प्रतिस्थापित करते हैं; 1; 2 3; 4, आदि और हम गिनते हैं. हमें श्रृंखला मिलती है:

एक्स = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 और इसी तरह।

आप बस इतना ही देख सकते हैं।) सामान्य सूत्र हमें देता है बिल्कुल वही परिणामजैसा कि दोनों उत्तर अलग-अलग हैं। बस सब कुछ एक ही बार में, क्रम से। गणितज्ञ मूर्ख नहीं थे।)

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के सूत्र भी जांचे जा सकते हैं। लेकिन हम ऐसा नहीं करेंगे।) वे पहले से ही सरल हैं।

मैंने यह सब प्रतिस्थापन और जाँच विशेष रूप से लिखी है। यहां एक सरल बात समझना महत्वपूर्ण है: प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सूत्र हैं, बस उत्तरों का एक संक्षिप्त सारांश।इस संक्षिप्तता के लिए, हमें कोसाइन समाधान में प्लस/माइनस और साइन समाधान में (-1) एन डालना होगा।

ये प्रविष्टियाँ उन कार्यों में किसी भी तरह से हस्तक्षेप नहीं करती हैं जहाँ आपको केवल प्राथमिक समीकरण का उत्तर लिखने की आवश्यकता होती है। लेकिन अगर आपको किसी असमानता को हल करने की ज़रूरत है, या फिर आपको उत्तर के साथ कुछ करने की ज़रूरत है: एक अंतराल पर जड़ों का चयन करें, ओडीजेड की जांच करें, आदि, ये सम्मिलन किसी व्यक्ति को आसानी से परेशान कर सकते हैं।

तो मुझे क्या करना चाहिए? हां, या तो उत्तर को दो श्रृंखलाओं में लिखें, या त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके समीकरण/असमानता को हल करें। तब ये सम्मिलन गायब हो जाते हैं और जीवन आसान हो जाता है।)

हम संक्षेप में बता सकते हैं.

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए तैयार उत्तर सूत्र मौजूद हैं। चार टुकड़े. वे किसी समीकरण का समाधान तुरंत लिखने के लिए अच्छे हैं। उदाहरण के लिए, आपको समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है:

सिनक्स = 0.3

आसानी से: एक्स = (-1) एन आर्क्सिन 0.3 + π एन, एन ∈ जेड

cosx = 0.2

कोई बात नहीं: x = ± आर्ककोस 0.2 + 2π एन, एन ∈ जेड

टीजीएक्स = 1.2

आसानी से: एक्स = आर्कटैन 1,2 + π एन, एन ∈ जेड

सीटीजीएक्स = 3.7

एक बाकी: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

क्योंकि x = 1.8

यदि आप, ज्ञान से चमकते हुए, तुरंत उत्तर लिखें:

x= ± आर्ककोस 1.8 + 2π एन, एन ∈ जेड

तो आप पहले से ही चमक रहे हैं, यह... वह... एक पोखर से।) सही उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं. समझ नहीं आता क्यों? पढ़ें कि आर्क कोसाइन क्या है। इसके अलावा, यदि मूल समीकरण के दाईं ओर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट, के सारणीबद्ध मान हैं - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 और इसी तरह। - मेहराब के माध्यम से उत्तर अधूरा रहेगा. मेहराब को रेडियन में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

और यदि आपका सामना असमानता से होता है, तो पसंद करें

तो उत्तर है:

x πn, n ∈ Z

दुर्लभ बकवास है, हां...) यहां आपको त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है। हम संबंधित विषय में क्या करेंगे।

उन लोगों के लिए जो वीरतापूर्वक इन पंक्तियों को पढ़ते हैं। मैं आपके महान प्रयासों की सराहना किए बिना नहीं रह सकता। आपके लिए बोनस.)

बक्शीश:

युद्ध की चिंताजनक स्थिति में सूत्र लिखते समय, अनुभवी विशेषज्ञ भी अक्सर भ्रमित हो जाते हैं कि कहाँ πn, और कहाँ 2π एन. यहां आपके लिए एक सरल ट्रिक है। में सब लोगसूत्र मूल्य πn. आर्क कोसाइन वाले एकमात्र सूत्र को छोड़कर। यह वहीं खड़ा है 2πn. दोपीन. कीवर्ड - दो।इसी सूत्र में हैं दोआरंभ में हस्ताक्षर करें. प्लस और माइनस. इधर - उधर - दो।

तो अगर आपने लिखा है दोचाप कोज्या से पहले हस्ताक्षर करें, यह याद रखना आसान है कि अंत में क्या होगा दोपीन. और इसका उलटा भी होता है. व्यक्ति संकेत चूक जाएगा ± , अंत तक पहुँचता है, सही लिखता है दोपिएन, और वह अपने होश में आ जाएगा। आगे कुछ है दोसंकेत! व्यक्ति प्रारंभ में लौटकर गलती सुधारेगा! इस कदर।)

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

एक बिंदु पर केन्द्रित ए.
α - कोण रेडियन में व्यक्त किया गया।

परिभाषा
साइन (पाप α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|

कोसाइन (cos α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|

स्वीकृत नोटेशन

;
;
.

;
;
.

साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = पाप x

कोज्या फलन का ग्राफ़, y = cos x

साइन और कोसाइन के गुण

दौरा

फ़ंक्शंस y = पाप एक्सऔर y = क्योंकि xअवधि के साथ आवधिक 2π.

समानता

साइन फलन विषम है. कोज्या फलन सम है।

परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, चरम, वृद्धि, कमी

साइन और कोसाइन फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में, यानी सभी x के लिए निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (एन - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।

मूल सूत्र

ज्या और कोज्या के वर्गों का योग

योग और अंतर से ज्या और कोज्या के सूत्र

;
;

ज्या और कोज्या के गुणनफल के लिए सूत्र

योग और अंतर सूत्र

साइन को कोसाइन के माध्यम से व्यक्त करना

;
;
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.

कोज्या को ज्या के माध्यम से व्यक्त करना

;
;
;
.

स्पर्शरेखा के माध्यम से अभिव्यक्ति

; .

जब हम रखते है:
; .

पर :
; .

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए साइन और कोसाइन के मान दिखाती है।

जटिल चरों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

;

यूलर का सूत्र

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

;
;

संजात

; . सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

nवें क्रम के व्युत्पन्न:
{ -∞ < x < +∞ }

सेकेंट, कोसेकेंट

उलटा कार्य

साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम फलन क्रमशः आर्कसाइन और आर्ककोसाइन हैं।

आर्क्सिन, आर्क्सिन

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

ज़खारोवा ल्यूडमिला व्लादिमीरोवाना
बरनौल का एमबीओयू "माध्यमिक विद्यालय संख्या 59"।
गणित शिक्षक [ईमेल सुरक्षित]

№1 सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण

लक्ष्य: 1. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें synx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;

2. सूत्रों का उपयोग करके सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना सीखें।

उपकरण: 1) त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ वाली तालिकाएँ y= synx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; 2) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका; 3) सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सूत्रों की सारांश तालिका।

व्याख्यान पाठ योजना:

1 .समीकरण के मूलों के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

ए) सिनएक्स =ए,

बी)cosx= ए,

ग) tgx= ए,

घ) ctgx= ए.

2 . मौखिक ललाट प्राप्त सूत्रों को समेकित करने का कार्य करता है।

3 . अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए लिखित कार्य

बीजगणित, ज्यामिति, भौतिकी और अन्य विषयों में, हमें विभिन्न प्रकार की समस्याओं का सामना करना पड़ता है, जिनके समाधान में समीकरणों को हल करना शामिल होता है। हमने त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का अध्ययन किया है, इसलिए उन समीकरणों की ओर मुड़ना स्वाभाविक है जिनमें अज्ञात फलन चिह्न के अंतर्गत समाहित है

परिभाषा: प्रपत्र के समीकरण सिनक्स = ए , cosx= ए , टीजीएक्स= ए , सीटीजीएक्स= ए सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना सीखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की सभी विधियों और तकनीकों में उन्हें सबसे सरल बनाना शामिल है।

आइए ऐसे सूत्र प्राप्त करने से शुरुआत करें जो त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय "सक्रिय रूप से" काम करते हैं।

1.sinx = के रूप के समीकरण ए.

आइए समीकरण synx = को हल करें एग्राफ़िक रूप से। ऐसा करने के लिए, एक समन्वय प्रणाली में हम फ़ंक्शन y=sinx और y= के ग्राफ़ बनाएंगे एक।

1) यदि ए> 1 और एपापएक्स= एइसका कोई समाधान नहीं है, क्योंकि सीधी रेखा और साइन तरंग में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।

2) यदि -1a साइन तरंग को अनंत बार पार करता है। इसका मतलब यह है कि समीकरणपापx= एइसके अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं।

चूंकि साइन की अवधि 2 है , फिर समीकरण को हल करने के लिएपापx= एयह लंबाई 2 के किसी भी खंड पर सभी समाधान खोजने के लिए पर्याप्त है।

[-/2; पर समीकरण हल करना; /2] आर्कसाइन x= की परिभाषा के अनुसारआर्कसिन ए, और x=-arcsin पर ए. फ़ंक्शन y=sinx की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ प्राप्त होती हैं

एक्स = -आर्क्सिन ए+2एन, एन जेड।

समाधानों की दोनों श्रृंखलाओं को जोड़ा जा सकता है

एक्स = (-1) एन आर्क्सिन ए+एन, एनजेड।

निम्नलिखित तीन मामलों में, वे सामान्य सूत्र के बजाय सरल संबंधों का उपयोग करना पसंद करते हैं:

अगर ए=-1, तो पाप x =-1, x=-/2+2n

अगर ए=1, फिर पाप x =1, x =/2+2n

अगर ए= 0, तो पाप x =0. एक्स = एन,

उदाहरण: एक समीकरण हल करेंसिनएक्स =1/2.

आइए समाधान के लिए सूत्र बनाएं x=आर्कसिन 1/2+ 2n

एक्स= - आर्क्सिन ए+2एन

आइए मूल्य की गणना करेंआर्क्सिन1/2. आइए पाए गए मान को समाधान सूत्रों में प्रतिस्थापित करें

x=5/6+2 एन

या सामान्य सूत्र के अनुसार

एक्स= (-1) एन आर्कसिन 1/2+एन,

एक्स= (-1) एन /6+एन,

2. रूप के समीकरण cosx= ए.

आइए समीकरण cosx= को हल करें एग्राफ़िक रूप से भी, फ़ंक्शंस y=cosx और y= को प्लॉट करके ए.

1) यदि 1, तो समीकरण cosx= एइसका कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

2) यदि -1 ए cosx= एसमाधानों की अनंत संख्या है।

हम सारे समाधान ढूंढ लेंगे cosx= एलंबाई 2 के अंतराल पर क्योंकि कोसाइन की अवधि 2 है।

चाप कोज्या की परिभाषा के अनुसार, समीकरण का हल x= होगाआर्कोस ए. कोसाइन फ़ंक्शन की समता को ध्यान में रखते हुए, [-;0] पर समीकरण का समाधान x=-arcos होगा ए.

इस प्रकार, समीकरण को हल करना cosx= एएक्स= + आर्कोस ए+ 2 एन,

तीन मामलों में, हम सामान्य सूत्र का नहीं, बल्कि सरल संबंधों का उपयोग करेंगे:

अगर ए=-1, फिर cosx =-1, x =-/2+2n

अगर ए=1, फिर cosx =1, x = 2n,

यदि a=0, तो cosx=0. एक्स =/2+एन

उदाहरण: एक समीकरण हल करेंक्योंकि x =1/2,

आइए समाधान के लिए सूत्र बनाएं x=arccos 1/2+ 2n

आइए मूल्य की गणना करेंआर्ककोस1/2.

आइए पाए गए मान को समाधान सूत्रों में प्रतिस्थापित करें

एक्स= + /3+ 2एन, एनजेड।

प्रपत्र के समीकरण टीजीएक्स= ए.

चूँकि स्पर्शरेखा का आवर्तकाल बराबर है, तो समीकरण के सभी समाधान खोजने के लिएटीजीएक्स= ए, यह लंबाई के किसी भी अंतराल पर सभी समाधान खोजने के लिए पर्याप्त है। आर्कटैन्जेंट की परिभाषा के अनुसार, (-/2; /2) पर समीकरण का समाधान आर्कटैन है ए. फ़ंक्शन की अवधि को ध्यान में रखते हुए, समीकरण के सभी समाधान फॉर्म में लिखे जा सकते हैं

एक्स= आर्कटान ए+ एन, एनजेड।

उदाहरण:प्रश्न हल करेंतन x = 3/3

आइए x= को हल करने के लिए एक सूत्र बनाएंआर्कटान 3/3 +एन, एनजेड।

आइए आर्कटेंजेंट मान की गणना करेंआर्कटान 3/3=/6, फिर

एक्स=/6+ एन, एनजेड।

समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति साथ टीजीएक्स= एछात्रों को प्रदान किया जा सकता है।

उदाहरण।

प्रश्न हल करेंसीटीजी एक्स = 1.

एक्स = आर्कसीटीजी 1 + एन, एनजेड,

एक्स = /4 + एन, एनजेड।

अध्ययन की गई सामग्री के परिणामस्वरूप, छात्र तालिका भर सकते हैं:

"त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना।"

समीकरण

अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए अभ्यास।

(मौखिक) कौन से लिखित समीकरण को सूत्रों का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

ए) एक्स= (-1) एन आर्क्सिन ए+एन, एनजेड;

बी) एक्स= + आर्कोस ए+ 2 एन?

क्योंकि x = 2/2, tan x = 1, पाप x = 1/3, क्योंकि x = 3/3, पाप x = -1/2, क्योंकि x = 2/3, पाप x = 3, क्योंकि x = 2 .

निम्नलिखित में से किस समीकरण का कोई हल नहीं है?

समीकरण हल करें:

ए) पाप एक्स = 0; ई) पाप x = 2/2; ज) पाप x = 2;

बी) क्योंकि x = 2/2; ई) क्योंकि x = -1/2; i) क्योंकि x = 1;

डी) टैन एक्स = 3; छ) खाट x = -1; जे) टैन एक्स = 1/3.

3. समीकरण हल करें:

ए) पाप 3x = 0; ई) 2cos x = 1;

बी) क्योंकि x/2 =1/2; ई) 3 टीजी 3एक्स =1;

घ) पाप x/4 = 1; छ) 2cos(2x+ /5) = 3.

इन समीकरणों को हल करते समय, फॉर्म के समीकरणों को हल करने के नियमों को लिखना उपयोगी होता हैपाप वीएक्स = ए, और साथपाप वीएक्स = ए, | ए|1.

पाप वीएक्स = ए, |ए|1.

वीएक्स = (-1) एन आर्क्सिन ए+एन, एनजेड,

एक्स= (-1) एन 1/ वीआर्कसिन ए+एन/ वी, nZ.

पाठ का सारांश:

आज कक्षा में हमने सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सूत्र निकाले।

हमने सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण देखे।

हमने वह तालिका भर दी है जिसका उपयोग हम समीकरणों को हल करने के लिए करेंगे।

गृहकार्य।

№2 त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

लक्ष्य: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए अध्ययन विधियाँ: 1) द्विघात में कम करने योग्य; 2) सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों में कम करने योग्य।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियों का उपयोग करते समय छात्रों की अवलोकन की शक्ति विकसित करना।

छात्रों के साथ फ्रंटल कार्य.

त्रिकोणमितीय समीकरणों के मूलों के सूत्र क्या हैं?क्योंकि x= ए, पाप x= ए, टीजीएक्स = ए, सीटीजी एक्स = ए.

समीकरणों को हल करें (मौखिक रूप से):

क्योंकि x=-1, पाप x=0, tgx =0, क्योंकि x=1, क्योंकि x=1.5, पाप x=0.

त्रुटियाँ ढूँढ़ें और त्रुटियों के कारणों के बारे में सोचें।

क्योंकि x=1/2, x= + /6+2k,k जेड

पाप x= 3/2, x= /3+k, kZ.

tgx = /4, x=1+ k, kZ.

2. नई सामग्री का अध्ययन.

यह पाठ त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के कुछ सबसे सामान्य तरीकों को कवर करेगा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को द्विघात में घटाया गया।

इस वर्ग में ऐसे समीकरण शामिल हो सकते हैं जिनमें एक फ़ंक्शन (साइन या कोसाइन) या एक ही तर्क के दो फ़ंक्शन शामिल होते हैं, लेकिन उनमें से एक को बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके दूसरे में घटा दिया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि cosх सम घातों में समीकरण में प्रवेश करता है, तो हम इसे 1-sin 2 x से बदल देते हैं, यदि पाप 2 x है, तो हम इसे 1-cos 2 x से बदल देते हैं।

उदाहरण।

समीकरण हल करें: 8पाप 2 एक्स - 6 पाप x -5 =0.

समाधान: आइए निरूपित करेंपाप x=t, फिर 8t 2 - 6t – 5=0,

डी=196,

टी 1 = -1/2, टी 2 = -5/4.

आइए विपरीत प्रतिस्थापन करें और निम्नलिखित समीकरणों को हल करें।

एक्स=(-1) के+1 /6+ के, केजेड।

चूँकि -5/4>1, समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर: x=(-1) k+1 /6+ k, kZ.

समेकन अभ्यासों को हल करना.

प्रश्न हल करें:

1) 2sin 2 x+ 3cos x = 0;

2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin 2 x+ 3cos 2 x = -2sin x;

4) 3 tg 2 x +2 tgx-1=0.

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण.

परिभाषा: 1) रूप का समीकरणए सिनक्स + बी cosx=0, (ए=0, बी=0)इसे syn x और cos x के संबंध में प्रथम डिग्री का सजातीय समीकरण कहा जाता है।

इस समीकरण को दोनों पक्षों से विभाजित करके हल किया जाता है cosx 0. परिणाम समीकरण है atgx+ b=0.

2) रूप का समीकरणए पाप 2 एक्स + बी सिनक्स cosx + सी ओल 2 एक्स =0 दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण कहलाता है, जहाँ a, b, c कोई संख्याएँ हैं।

यदि a = 0 है, तो हम समीकरण को दोनों पक्षों से विभाजित करके हल करते हैंक्योंकि 2 एक्स 0. परिणामस्वरूप, हमें समीकरण प्राप्त होता है atg 2 x+ btgx+с =0.

टिप्पणी:रूप का समीकरणए पाप एमएक्स + बी ओल एमएक्स=0 या

ए पाप 2 एमएक्स + बी पाप एमएक्स ओल एमएक्स + सी ओल 2 एमएक्स =0 सजातीय भी हैं. इन्हें हल करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को कॉस से विभाजित किया जाता है एमएक्स=0 या क्योंकि 2 एमएक्स=0

3) विभिन्न समीकरण जो मूल रूप से सजातीय समीकरण नहीं हैं, उन्हें सजातीय समीकरणों में घटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,पाप 2 एमएक्स + बी पाप एमएक्स ओल एमएक्स + सी ओल 2 एमएक्स = डी, और ए सिनक्स + बी cosx= डी. इन समीकरणों को हल करने के लिए, आपको दाएँ पक्ष को इससे गुणा करना होगा "त्रिकोणमितीय इकाई"वे। पर पाप 2 एक्स + ओल 2 एक्सऔर गणितीय परिवर्तन करें।

अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए अभ्यास:

1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 पाप 2 एक्स – पाप2x =3;

2) पाप 2x+cos2x = 0; 6) 3 पाप 2 x + पापx cosx =2 cos 2 x ;

3) पाप x+ 3cos x = 0; 7) 3 पाप 2 एक्स- पापx cosx =2;

4) पाप 2 x -3 पापx cosx +2 cos 2 x =0

3. पाठ का सारांश। गृहकार्य।

इस पाठ में, समूह की तैयारी के आधार पर, आप फॉर्म के समीकरणों को हल करने पर विचार कर सकते हैं a पाप mx +b cos mx=c, जहां a, b, c एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।

मजबूत बनाने वाले व्यायाम:

1. 3sin x + cos x=2;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2;

3. पाप x/3 + cos x/3=1;

4. 12 पाप x +5 cos x+13=0.

№ 3 त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

लक्ष्य: 1) गुणनखंडन द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधि का अध्ययन करें; विभिन्न त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना सीखें;

2) जांचें: सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए छात्रों के सूत्रों का ज्ञान; सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता।

शिक्षण योजना:

होमवर्क की जाँच करना.

गणितीय श्रुतलेख.

नई सामग्री सीखना.

स्वतंत्र काम।

पाठ का सारांश. गृहकार्य।

पाठ की प्रगति:

होमवर्क की जाँच करना (त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान संक्षेप में बोर्ड पर लिखे गए हैं)।

गणितीय श्रुतलेख.

पहले में

1. कौन से समीकरण सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं?

2. प्रपत्र के समीकरण का नाम क्या है?ए सिनक्स + बी cosx=0? इसके समाधान का कोई उपाय बताएं.

3.समीकरण के मूलों का सूत्र लिखिएटीजीएक्स = ए(सीटीजी x= ए).

4. प्रपत्र के समीकरणों के मूलों के सूत्र लिखिए cosx= ए, कहाँ ए=1, ए=0, ए=-1.

5. समीकरण के मूलों के लिए सामान्य सूत्र लिखिएपाप x= ए, | ए|

6. फॉर्म के समीकरण कैसे हल किये जाते हैंए cosx= बी, | बी|

दो पर

1. समीकरणों के मूलों के सूत्र लिखिए cosx= ए,| ए|

2. समीकरण के मूलों के लिए सामान्य सूत्र लिखिए

= ए, | ए|

3. प्रपत्र के समीकरण क्या कहलाते हैं?पाप x= ए, टीजीएक्स = ए, पाप x= ए?

4.समीकरण के मूलों के सूत्र लिखिएपाप x= ए, अगर ए=1, ए=0, ए=-1.

5. फॉर्म के समीकरण कैसे हल किये जाते हैंपाप एएक्स= बी, | बी|

6. किन समीकरणों को दूसरी डिग्री के सजातीय समीकरण कहा जाता है? उनका समाधान कैसे किया जाता है?

नई सामग्री सीखना.

गुणनखंडन विधि.

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक गुणनखंडन विधि है।

यदि समीकरण f(x) =0 को f 1 (x) f 2 (x) =0 के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो समस्या दो समीकरणों f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0 को हल करने तक कम हो जाती है। .

(छात्रों के लिए यह नियम याद रखना उपयोगी है " कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो और अन्य का कोई मतलब हो»)

विभिन्न जटिलता के समीकरणों को हल करके अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

(sin x-1/2)(sin x+1)=0; 2) (cosx- 2/2)(sin x+ 2/2)=0;(स्वयं)

3) पाप 2 x+ पाप x cosx=0; 4) पाप 2 एक्स- पाप एक्स =0;

5) पाप 2x – cosx=0; 6) 4 cos 2 x -1 =0; (2 तरीके)

7) cosx+ cos3x=0; 8) पाप 3x= पाप 17x;

9) पाप x+ पाप 2x+ पाप 3x=0; 10) cos3x cos5x

11) पाप x cos5x = पाप 9x cos3x पाप 2x पाप 2x

12) 3 cosx पाप x+ cos 2 x=0(स्वयं)

13) 2 cos 2 x - पाप (x- /2)+ tanx tan (x+/2)=0.

स्वतंत्र काम।

विकल्प-1 विकल्प-2

1) 6 पाप 2 एक्स+ 5 पाप x -1=0; 1) 3 cos 2 x+2 cosx -5=0;

2) पाप 2x – cos2x=0; 2) 3 क्योंकि x/2 - पाप x/2=0;

3) 5 पाप 2 x+ पाप x cosx -2 cos 2 x=2; 3) 4sin 2 x-sin x cosx +7cos 2 x=5;

4) पाप x+sin5x=sin3x+sin7x; 4) पाप x-sin 2x +sin 3x-sin 4x=0;

5) पाप x+cosx=1. 5) पाप x+cosx=2.

8. पाठ का सारांश। गृहकार्य।

हम जानते हैं कि कोसाइन मान सीमा में हैं [-1; 1], यानी -1 ≤ cos α ≤ 1. इसलिए, यदि |a| > 1, तो समीकरण cos x = a का कोई मूल नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण cos x = -1.5 का कोई मूल नहीं है।

आइए कई समस्याओं पर विचार करें.

समीकरण cos x = 1/2 को हल करें।

समाधान।

याद रखें कि cos x, 1 के बराबर त्रिज्या वाले वृत्त पर एक बिंदु का भुज है, जो मूल बिंदु के चारों ओर एक कोण x द्वारा बिंदु P (1; 0) को घुमाने से प्राप्त होता है।

भुज 1/2 वृत्त M 1 और M 2 के दो बिंदुओं पर है। चूँकि 1/2 = cos π/3, हम बिंदु P (1; 0) से बिंदु M 1 को कोण x 1 = π/3 के साथ-साथ कोण x = π/3 + 2πk से घुमाकर प्राप्त कर सकते हैं, जहाँ k = +/-1, +/-2, ...

बिंदु M 2 बिंदु P (1; 0) से कोण x 2 = -π/3, साथ ही कोण -π/3 + 2πk, जहां k = +/-1, +/-2 द्वारा घूर्णन करके प्राप्त किया जाता है , ...

तो, समीकरण cos x = 1/2 के सभी मूल सूत्रों का उपयोग करके पाए जा सकते हैं
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

प्रस्तुत दो सूत्रों को एक में जोड़ा जा सकता है:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

समीकरण cos x = -1/2 को हल करें।

समाधान।

वृत्त के दो बिंदु M 1 और M 2 का भुज - 1/2 के बराबर है। चूँकि -1/2 = cos 2π/3, तो कोण x 1 = 2π/3, और इसलिए कोण x 2 = -2π/3.

नतीजतन, समीकरण cos x = -1/2 के सभी मूल सूत्र का उपयोग करके पाए जा सकते हैं: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

इस प्रकार, प्रत्येक समीकरण cos x = 1/2 और cos x = -1/2 के मूलों की अनंत संख्या है। अंतराल 0 ≤ x ≤ π पर, इनमें से प्रत्येक समीकरण का केवल एक ही मूल है: x 1 = π/3 समीकरण का मूल है क्योंकि x = 1/2 और x 1 = 2π/3 समीकरण का मूल है क्योंकि एक्स = -1/2.

संख्या π/3 को संख्या 1/2 की आर्ककोसाइन कहा जाता है और लिखा जाता है: आर्ककोस 1/2 = π/3, और संख्या 2π/3 को संख्या (-1/2) की आर्ककोसाइन कहा जाता है और लिखा जाता है : आर्ककोस (-1/2) = 2π/3।

सामान्य तौर पर, समीकरण cos x = a, जहां -1 ≤ a ≤ 1, का अंतराल 0 ≤ x ≤ π पर केवल एक मूल होता है। यदि a ≥ 0, तो मूल अंतराल में समाहित है; यदि एक< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

इस प्रकार, संख्या की चाप कोज्या a € [-1; 1 ] एक संख्या a € है जिसकी कोज्या a के बराबर है:

आर्ककोस а = α, यदि cos α = а और 0 ≤ а ≤ π (1)।

उदाहरण के लिए, आर्ककोस √3/2 = π/6, चूँकि cos π/6 = √3/2 और 0 ≤ π/6 ≤ π;
आर्ककोस (-√3/2) = 5π/6, चूँकि cos 5π/6 = -√3/2 और 0 ≤ 5π/6 ≤ π।

उसी तरह जैसे समस्या 1 और 2 को हल करने की प्रक्रिया में किया गया था, यह दिखाया जा सकता है कि समीकरण की सभी जड़ें cos x = a, जहां |a| ≤ 1, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2)।

समीकरण cos x = -0.75 को हल करें।

समाधान।

सूत्र (2) का उपयोग करके हम x = +/-arccos (-0.75) + 2 πn, n € Z पाते हैं।

आर्कोस मान (-0.75) को एक चांदे का उपयोग करके कोण को मापकर चित्र में लगभग पाया जा सकता है। आर्क कोसाइन के अनुमानित मान विशेष तालिकाओं (ब्रैडिस टेबल) या माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके भी पाए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, 2.4188583 का अनुमानित मान देने के लिए आर्ककोस (-0.75) के मान की गणना एक माइक्रोकैलकुलेटर पर की जा सकती है। तो, आर्ककोस (-0.75) ≈ 2.42। इसलिए, आर्ककोस (-0.75) ≈ 139°।

उत्तर: आर्ककोस (-0.75) ≈ 139°।

समीकरण (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0 को हल करें।

समाधान।

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.

उत्तर। x = +/- आर्कोस 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी भी € [-1; 1] सूत्र आर्ककोस (-ए) = π - आर्ककोस ए (3) मान्य है।

यह सूत्र आपको धनात्मक संख्याओं के चाप कोज्या मानों के माध्यम से ऋणात्मक संख्याओं के चाप कोज्या मानों को व्यक्त करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए:

आर्ककोस (-1/2) = π – आर्ककोस 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

आर्ककोस (-√2/2) = π - आर्ककोस √2/2 = π - π/4 = 3π/4

सूत्र (2) से यह पता चलता है कि समीकरण की जड़ें, क्योंकि a = 0, a = 1 और a = -1 के लिए cos x = a को सरल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

क्योंकि x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

क्योंकि x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6)।

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