डिग्री एन की जड़: बुनियादी परिभाषाएँ। जड़ें निकालना: विधियाँ, उदाहरण, समाधान 4थी डिग्री की जड़

उदाहरण:

\(\sqrt(16)=2\), चूँकि \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , चूँकि \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

nवें मूल की गणना कैसे करें?

\(n\)वें घात के मूल की गणना करने के लिए, आपको स्वयं से यह प्रश्न पूछने की आवश्यकता है: मूल के अंतर्गत \(n\)वें घात को कौन सी संख्या दी जाएगी?

उदाहरण के लिए. \(n\)वें मूल की गणना करें: a)\(\sqrt(16)\); बी) \(\sqrt(-64)\); सी) \(\sqrt(0.00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) \(4\)वीं घात को कौन सी संख्या \(16\) देगी? जाहिर है, \(2\). इसीलिए:

b) \(3\)वीं घात को कौन सी संख्या \(-64\) देगी?

\(\sqrt(-64)=-4\)

ग) \(5\)वीं घात को कौन सी संख्या \(0.00001\) देगी?

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

घ) \(3\)वीं घात को कौन सी संख्या \(8000\) देगी?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) \(4\)वीं घात को कौन सी संख्या \(\frac(1)(81)\) देगी?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

हमने \(n\)वें मूल के साथ सबसे सरल उदाहरण देखे। \(n\)वीं डिग्री की जड़ों के साथ अधिक जटिल समस्याओं को हल करने के लिए, उन्हें जानना महत्वपूर्ण है।

उदाहरण। गणना करें:

क्या nवाँ मूल और वर्गमूल संबंधित हैं?

किसी भी स्थिति में, किसी भी डिग्री का कोई भी मूल केवल एक संख्या है, भले ही वह ऐसे रूप में लिखा गया हो जो आपके लिए अपरिचित हो।

nवाँ मूल विलक्षणता

विषम \(n\) वाली \(n\)वीं डिग्री का मूल किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है, यहां तक ​​कि नकारात्मक भी (शुरुआत में उदाहरण देखें)। लेकिन यदि \(n\) सम (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)...) है, तो ऐसा रूट तभी निकाला जाता है जब \( a ≥ 0\) (वैसे, यही बात वर्गमूल पर भी लागू होती है)। यह इस तथ्य के कारण है कि जड़ निकालना किसी शक्ति को बढ़ाने के विपरीत है।

और एक सम घात तक बढ़ाने से एक ऋणात्मक संख्या भी धनात्मक हो जाती है। दरअसल, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). इसलिए, हम मूल के अंतर्गत किसी ऋणात्मक संख्या की सम घात प्राप्त नहीं कर सकते। इसका मतलब यह है कि हम किसी ऋणात्मक संख्या से ऐसा मूल नहीं निकाल सकते।

एक विषम घात में ऐसे प्रतिबंध नहीं होते हैं - एक विषम घात तक बढ़ाई गई ऋणात्मक संख्या ऋणात्मक ही रहेगी: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2)=-32\). इसलिए, एक विषम घात के मूल के अंतर्गत आप एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त कर सकते हैं। इसका मतलब यह है कि इसे ऋणात्मक संख्या से निकालना भी संभव है।

इंजीनियरिंग कैलकुलेटर ऑनलाइन

हम सभी को निःशुल्क इंजीनियरिंग कैलकुलेटर प्रदान करते हुए प्रसन्न हैं। इसकी मदद से कोई भी छात्र विभिन्न प्रकार की गणितीय गणनाएं जल्दी और सबसे महत्वपूर्ण आसानी से ऑनलाइन कर सकता है।

विनीत और सहज इंटरफ़ेस वाला एक सरल और उपयोग में आसान इंजीनियरिंग कैलकुलेटर वास्तव में इंटरनेट उपयोगकर्ताओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए उपयोगी होगा। अब, जब भी आपको कैलकुलेटर की आवश्यकता हो, हमारी वेबसाइट पर जाएँ और निःशुल्क इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग करें।

एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर सरल अंकगणितीय परिचालन और काफी जटिल गणितीय गणना दोनों कर सकता है।

Web20calc एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर है जिसमें बड़ी संख्या में फ़ंक्शन हैं, उदाहरण के लिए, सभी प्राथमिक कार्यों की गणना कैसे करें। कैलकुलेटर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस, मैट्रिक्स, लॉगरिदम और यहां तक ​​कि ग्राफ़िंग का भी समर्थन करता है।

निस्संदेह, Web20calc उन लोगों के समूह के लिए रुचिकर होगा, जो सरल समाधानों की तलाश में, खोज इंजन में क्वेरी टाइप करते हैं: ऑनलाइन गणितीय कैलकुलेटर। एक मुफ़्त वेब एप्लिकेशन आपको कुछ गणितीय अभिव्यक्ति के परिणाम की तुरंत गणना करने में मदद करेगा, उदाहरण के लिए, घटाना, जोड़ना, विभाजित करना, मूल निकालना, घात बढ़ाना आदि।

अभिव्यक्ति में, आप घातांक, जोड़, घटाव, गुणा, भाग, प्रतिशत और पीआई स्थिरांक के संचालन का उपयोग कर सकते हैं। जटिल गणनाओं के लिए, कोष्ठक शामिल किए जाने चाहिए।

इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की विशेषताएं:

1. बुनियादी अंकगणितीय परिचालन;
2. मानक रूप में संख्याओं के साथ कार्य करना;
3. त्रिकोणमितीय मूलों, कार्यों, लघुगणक, घातांक की गणना;
4. सांख्यिकीय गणना: जोड़, अंकगणितीय माध्य या मानक विचलन;
5. मेमोरी सेल्स और 2 वेरिएबल्स के कस्टम फ़ंक्शंस का उपयोग;
6. रेडियन और डिग्री माप में कोणों के साथ काम करें।

इंजीनियरिंग कैलकुलेटर विभिन्न गणितीय कार्यों के उपयोग की अनुमति देता है:

जड़ें निकालना (वर्ग, घन और nवीं जड़);
पूर्व (ई से एक्स पावर), घातीय;
त्रिकोणमितीय कार्य: साइन - साइन, कोसाइन - कॉस, स्पर्शरेखा - टैन;
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन: आर्कसाइन - सिन-1, आर्ककोसाइन - कॉस-1, आर्कटेंजेंट - टैन-1;
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य: साइन - सिंह, कोसाइन - कोश, स्पर्शरेखा - तन;
लघुगणक: आधार दो से द्विआधारी लघुगणक - log2x, दशमलव लघुगणक से आधार दस - लघुगणक, प्राकृतिक लघुगणक - ln।

इस इंजीनियरिंग कैलकुलेटर में विभिन्न माप प्रणालियों - कंप्यूटर इकाइयों, दूरी, वजन, समय, आदि के लिए भौतिक मात्राओं को परिवर्तित करने की क्षमता वाला एक मात्रा कैलकुलेटर भी शामिल है। इस फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप तुरंत मील को किलोमीटर में, पाउंड को किलोग्राम में, सेकंड को घंटे में, आदि में बदल सकते हैं।

गणितीय गणना करने के लिए, पहले उपयुक्त फ़ील्ड में गणितीय अभिव्यक्तियों का अनुक्रम दर्ज करें, फिर बराबर चिह्न पर क्लिक करें और परिणाम देखें। आप सीधे कीबोर्ड से मान दर्ज कर सकते हैं (इसके लिए, कैलकुलेटर क्षेत्र सक्रिय होना चाहिए, इसलिए, कर्सर को इनपुट फ़ील्ड में रखना उपयोगी होगा)। अन्य बातों के अलावा, कैलकुलेटर के बटनों का उपयोग करके ही डेटा दर्ज किया जा सकता है।

ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको इनपुट फ़ील्ड में फ़ंक्शन लिखना चाहिए जैसा कि उदाहरणों के साथ फ़ील्ड में दर्शाया गया है या इसके लिए विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए टूलबार का उपयोग करना चाहिए (इस पर जाने के लिए, ग्राफ़ आइकन वाले बटन पर क्लिक करें)। मान परिवर्तित करने के लिए, यूनिट पर क्लिक करें; मैट्रिक्स के साथ काम करने के लिए, मैट्रिक्स पर क्लिक करें।

व्यवहार में रूट निष्कर्षण ऑपरेशन का सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन के गुणों से परिचित होना होगा।
सभी गुण केवल जड़ों के चिह्नों के अंतर्गत निहित चर के गैर-नकारात्मक मानों के लिए तैयार और सिद्ध किए जाते हैं।

प्रमेय 1. दो गैर-नकारात्मक चिप्स के उत्पाद का nवाँ मूल (n=2, 3, 4,...) इन संख्याओं के nवें मूल के गुणनफल के बराबर है:

टिप्पणी:

1. प्रमेय 1 उस स्थिति के लिए मान्य रहता है जब मूल अभिव्यक्ति दो से अधिक गैर-नकारात्मक संख्याओं का गुणनफल होती है।

प्रमेय 2.अगर, और n एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी है, तो समानता सत्य है

प्रमेय 1 हमें t को गुणा करने की अनुमति देता है केवल समान डिग्री की जड़ें , अर्थात। केवल समान सूचकांक वाली जड़ें।

प्रमेय 3.यदि ,k एक प्राकृत संख्या है और n एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी है, तो समानता सत्य है

दूसरे शब्दों में, किसी जड़ को प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, इस शक्ति की मूल अभिव्यक्ति को ऊपर उठाना ही पर्याप्त है।
यह प्रमेय 1 का परिणाम है। वास्तव में, उदाहरण के लिए, k = 3 के लिए हम प्राप्त करते हैं: हम घातांक k के किसी अन्य प्राकृतिक मान के मामले में बिल्कुल उसी तरह से तर्क कर सकते हैं।

प्रमेय 4.यदि ,k, n 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो समानता सत्य है

दूसरे शब्दों में, जड़ से जड़ निकालने के लिए, जड़ों के संकेतकों को गुणा करना पर्याप्त है।
उदाहरण के लिए,

ध्यान से!हमने सीखा कि जड़ों पर चार ऑपरेशन किए जा सकते हैं: गुणा, भाग, घातांक, और जड़ निष्कर्षण (जड़ से)। लेकिन जड़ों को जोड़ने और घटाने के बारे में क्या? बिलकुल नहीं।
उदाहरण के लिए, वास्तव में लिखने के बजाय, लेकिन यह स्पष्ट है कि

प्रमेय 5.यदि मूल और मूल अभिव्यक्ति के संकेतकों को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा, अर्थात।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 2.गणना
समाधान।किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें.
हमने जड़ों की दूसरी संपत्ति का उपयोग किया है ( प्रमेय 2 ), हम पाते हैं:

उदाहरण 3.गणना करें:

समाधान।बीजगणित में कोई भी सूत्र, जैसा कि आप अच्छी तरह से जानते हैं, न केवल "बाएँ से दाएँ" बल्कि "दाएँ से बाएँ" भी प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार, जड़ों की पहली संपत्ति का मतलब है कि उन्हें रूप में दर्शाया जा सकता है और, इसके विपरीत, अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यही बात जड़ों के दूसरे गुण पर भी लागू होती है। इसे ध्यान में रखते हुए, आइए गणना करें।

स्प्रेडशीट उपयोगकर्ता किसी संख्या का मूल निकालने के लिए फ़ंक्शन का व्यापक रूप से उपयोग करते हैं। क्योंकि डेटा हेरफेर के लिए आमतौर पर बड़ी संख्या में प्रसंस्करण की आवश्यकता होती है, मैन्युअल गणना काफी कठिन हो सकती है। इस लेख में आपको एक्सेल में किसी भी डिग्री का रूट निकालने के मुद्दे का विस्तृत विश्लेषण मिलेगा।

काफी आसान काम है, क्योंकि प्रोग्राम में एक अलग फ़ंक्शन होता है जिसे सूची से लिया जा सकता है। ऐसा करने के लिए आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1. उस सेल का चयन करें जिसमें आप फ़ंक्शन को बाईं माउस बटन से एक बार क्लिक करके पंजीकृत करना चाहते हैं। एक काली रूपरेखा दिखाई देती है, सक्रिय पंक्ति और स्तंभ नारंगी रंग में हाइलाइट किए जाते हैं, और नाम पता सेल में दिखाई देता है।

   

2. "एफएक्स" बटन ("इन्सर्ट फंक्शन") पर क्लिक करें, जो कॉलम नामों के ऊपर, एड्रेस सेल के बाद, फॉर्मूला बार से पहले स्थित होता है।

   

3. एक ड्रॉप-डाउन मेनू दिखाई देगा जिसमें आपको "रूट" फ़ंक्शन ढूंढना होगा। यह "गणितीय" श्रेणी में या माउस के ठीक नीचे मेनू को स्क्रॉल करके "पूर्ण वर्णमाला सूची" में किया जा सकता है।

   

4. बाईं माउस बटन से एक बार क्लिक करके "रूट" आइटम का चयन करें, फिर "ओके" बटन पर क्लिक करें।

   

5. निम्नलिखित मेनू दिखाई देगा - "फ़ंक्शन तर्क"।

   

6. एक संख्या दर्ज करें या एक सेल का चयन करें जिसमें यह अभिव्यक्ति या सूत्र पहले लिखा गया था, ऐसा करने के लिए, "नंबर" लाइन पर एक बार बाएं क्लिक करें, फिर कर्सर को उस सेल पर ले जाएं जिसकी आपको आवश्यकता है और उस पर क्लिक करें। सेल का नाम स्वचालित रूप से लाइन में दर्ज हो जाएगा।

   

7. ठीक बटन पर क्लिक करें।

   

8. और सब कुछ तैयार है, फ़ंक्शन ने वर्गमूल की गणना की, परिणाम को चयनित सेल पर लिखा।

   

किसी संख्या और सेल (किसी दिए गए सेल में दर्ज किया गया डेटा) या दो सेल के योग का वर्गमूल निकालना भी संभव है; ऐसा करने के लिए, "संख्या" पंक्ति में मान दर्ज करें। नंबर लिखें और सेल पर एक बार क्लिक करें, प्रोग्राम स्वयं एक अतिरिक्त चिह्न जोड़ देगा।

एक नोट पर!इस फ़ंक्शन को मैन्युअल रूप से भी दर्ज किया जा सकता है। सूत्र पट्टी में, निम्नलिखित अभिव्यक्ति दर्ज करें: "=ROOT(x)", जहां x वांछित संख्या है।

तीसरी, चौथी और अन्य डिग्री की जड़ों का निष्कर्षण।

एक्सेल में इस एक्सप्रेशन को हल करने के लिए कोई अलग फ़ंक्शन नहीं है। nवाँ मूल निकालने के लिए, आपको पहले इस पर गणितीय दृष्टिकोण से विचार करना होगा।

nवाँ मूल किसी संख्या को उसकी विपरीत घात (1/n) तक बढ़ाने के बराबर है। अर्थात्, वर्गमूल ½ (या 0.5) की घात वाली किसी संख्या से मेल खाता है।

उदाहरण के लिए:

• 16 का चौथा मूल ¼ की घात 16 है;
• 64 का घनमूल = 64 की घात 1/3;

स्प्रेडशीट प्रोग्राम में इस क्रिया को करने के दो तरीके हैं:

1. फ़ंक्शन का उपयोग करना.
2. पावर प्रतीक "^" का उपयोग करके, अभिव्यक्ति को मैन्युअल रूप से दर्ज करें।

किसी फ़ंक्शन का उपयोग करके किसी भी डिग्री का मूल निकालना

1. वांछित सेल का चयन करें और "फॉर्मूला" टैब में "इन्सर्ट फंक्शन" पर क्लिक करें।

   

2. "श्रेणी" आइटम में सूची का विस्तार करें, "गणितीय" या "पूर्ण वर्णमाला सूची" श्रेणी में, "डिग्री" फ़ंक्शन ढूंढें।

   

   

3. "संख्या" पंक्ति में, एक संख्या (हमारे मामले में, संख्या 64) या सेल का नाम उस पर एक बार क्लिक करके दर्ज करें।

   

4. "डिग्री" लाइन में, वह डिग्री टाइप करें जिस तक आप रूट (1/3) बढ़ाना चाहते हैं।

   

   महत्वपूर्ण! विभाजन चिह्न को इंगित करने के लिए, आपको मानक ":" विभाजन चिह्न के बजाय "/" प्रतीक का उपयोग करना चाहिए।

5. "ओके" पर क्लिक करें और कार्रवाई का परिणाम आरंभिक रूप से चयनित सेल में दिखाई देगा।

   

   

टिप्पणी!फ़ंक्शंस के साथ काम करने पर फ़ोटो के साथ सबसे विस्तृत निर्देशों के लिए, ऊपर दिया गया लेख देखें।

डिग्री प्रतीक "^" का उपयोग करके किसी भी डिग्री का मूल निकालना

टिप्पणी!डिग्री को अंश या दशमलव संख्या के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न ¼ को 0.25 के रूप में लिखा जा सकता है। दसवें, सौवें, हज़ारवें आदि को अलग करने के लिए अल्पविराम का उपयोग करें, जैसा कि गणित में प्रथागत है।.

लेखन अभिव्यक्ति के उदाहरण

मैंने फिर से संकेत की ओर देखा... और, चलो चलें!

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

एक मिनट रुकिए। इसका मतलब है कि हम इसे इस तरह लिख सकते हैं:

समझ गया? यहां आपके लिए अगला है:

क्या परिणामी संख्याओं की जड़ें ठीक-ठीक नहीं निकाली गई हैं? कोई समस्या नहीं - यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यदि दो नहीं, बल्कि अधिक गुणक हों तो क्या होगा? जो उसी! जड़ों को गुणा करने का सूत्र किसी भी संख्या में कारकों के साथ काम करता है:

अब पूरी तरह से अपने आप पर:

उत्तर:बहुत अच्छा! सहमत हूँ, सब कुछ बहुत आसान है, मुख्य बात गुणन सारणी को जानना है!

जड़ विभाजन

हमने जड़ों के गुणन को सुलझा लिया है, अब विभाजन के गुण पर चलते हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:

जिसका अर्थ है कि भागफल का मूल मूल के भागफल के बराबर होता है।

खैर, आइए कुछ उदाहरण देखें:

बस इतना ही विज्ञान है. यहाँ एक उदाहरण है:

सब कुछ पहले उदाहरण की तरह सहज नहीं है, लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

यदि आपको यह अभिव्यक्ति मिले तो क्या होगा:

आपको बस सूत्र को विपरीत दिशा में लागू करने की आवश्यकता है:

और यहाँ एक उदाहरण है:

आपको यह अभिव्यक्ति भी मिल सकती है:

सब कुछ समान है, केवल यहां आपको यह याद रखना होगा कि भिन्नों का अनुवाद कैसे किया जाता है (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय देखें और वापस आएं!)। तुम्हे याद है? अब चलो निर्णय करें!

मुझे यकीन है कि आपने हर चीज़ का सामना कर लिया है, अब आइए जड़ों को डिग्री तक ऊपर उठाने का प्रयास करें।

घातांक

यदि वर्गमूल का वर्ग किया जाए तो क्या होगा? यह सरल है, किसी संख्या के वर्गमूल का अर्थ याद रखें - यह वह संख्या है जिसका वर्गमूल बराबर होता है।

तो, यदि हम उस संख्या का वर्ग करें जिसका वर्गमूल बराबर है, तो हमें क्या मिलता है?

बेशक, !

आइए उदाहरण देखें:

यह आसान है, है ना? यदि जड़ भिन्न डिग्री की हो तो क्या होगा? कोई बात नहीं!

उसी तर्क का पालन करें और डिग्री के साथ गुणों और संभावित कार्यों को याद रखें।

"" विषय पर सिद्धांत पढ़ें और आपके लिए सब कुछ बेहद स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन यदि यह विषम हो तो क्या होगा? फिर से, घातांक के गुणों को लागू करें और हर चीज़ का गुणनखंड करें:

इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन किसी संख्या का मूल किसी घात तक कैसे निकाला जाए? यहाँ, उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत सरल, है ना? यदि डिग्री दो से अधिक हो तो क्या होगा? हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर उदाहरणों को स्वयं हल करें:

और यहाँ उत्तर हैं:

जड़ के चिन्ह के नीचे प्रवेश करना

हमने जड़ों से क्या-क्या नहीं सीखा! बस मूल चिन्ह के नीचे संख्या दर्ज करने का अभ्यास करना बाकी है!

यह सचमुच आसान है!

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या लिखी हुई है

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निःसंदेह, तीनों को मूल के नीचे छिपाएँ, याद रखें कि तीन का वर्गमूल है!

हमें इसकी ज़रूरत क्यों है? हाँ, उदाहरणों को हल करते समय हमारी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? क्या इससे जीवन बहुत आसान हो जाता है? मेरे लिए, यह बिल्कुल सही है! केवल हमें याद रखना चाहिए कि हम केवल वर्गमूल चिन्ह के नीचे धनात्मक संख्याएँ ही दर्ज कर सकते हैं।

इस उदाहरण को स्वयं हल करें -
क्या आप संभाल पाओगे? आइए देखें कि आपको क्या मिलना चाहिए:

बहुत अच्छा! आप मूल चिन्ह के नीचे संख्या दर्ज करने में कामयाब रहे! आइए समान रूप से महत्वपूर्ण बात पर आगे बढ़ें - आइए देखें कि वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना कैसे करें!

जड़ों की तुलना

हमें उन संख्याओं की तुलना करना क्यों सीखना चाहिए जिनमें वर्गमूल होता है?

बहुत सरल। अक्सर, परीक्षा में सामने आने वाले बड़े और लंबे भावों में, हमें एक तर्कहीन उत्तर मिलता है (याद रखें कि यह क्या है? हम आज इस बारे में पहले ही बात कर चुके हैं!)

हमें प्राप्त उत्तरों को समन्वय रेखा पर रखना होगा, उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण को हल करने के लिए कौन सा अंतराल उपयुक्त है। और यहाँ समस्या उत्पन्न होती है: परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं है, और इसके बिना, आप कैसे कल्पना कर सकते हैं कि कौन सी संख्या अधिक है और कौन सी कम है? इतना ही!

उदाहरण के लिए, निर्धारित करें कि कौन बड़ा है: या?

आप तुरंत नहीं बता सकते. ठीक है, आइए मूल चिन्ह के नीचे एक संख्या दर्ज करने की विघटित संपत्ति का उपयोग करें?

तो आगे बढ़ो:

खैर, जाहिर है, मूल चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा!

वे। तो अगर, ।

इससे हम दृढ़तापूर्वक यह निष्कर्ष निकालते हैं। और कोई भी हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

बड़ी संख्या से जड़ें निकालना

इससे पहले, हमने मूल के चिह्न के नीचे एक गुणक दर्ज किया था, लेकिन इसे कैसे हटाया जाए? आपको बस इसे कारकों में शामिल करना होगा और जो आप निकालते हैं उसे निकालना होगा!

एक अलग रास्ता अपनाना और अन्य कारकों में विस्तार करना संभव था:

बुरा नहीं है, है ना? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, अपनी इच्छानुसार निर्णय लें।

इस तरह की गैर-मानक समस्याओं को हल करते समय फैक्टरिंग बहुत उपयोगी होती है:

आइए डरें नहीं, बल्कि कार्य करें! आइए प्रत्येक कारक को मूल के अंतर्गत अलग-अलग कारकों में विघटित करें:

अब इसे स्वयं आज़माएँ (कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा में नहीं होगा):

क्या यह अंत है? आइए आधे रास्ते में न रुकें!

बस इतना ही, यह इतना डरावना नहीं है, है ना?

घटित? शाबाश, यह सही है!

अब इस उदाहरण को आज़माएँ:

लेकिन उदाहरण को समझ पाना कठिन है, इसलिए आप तुरंत समझ नहीं सकते कि इसे कैसे अपनाया जाए। लेकिन, निःसंदेह, हम इसे संभाल सकते हैं।

अच्छा, आइए फ़ैक्टरिंग शुरू करें? आइए तुरंत ध्यान दें कि आप किसी संख्या को विभाजित कर सकते हैं (विभाज्यता के संकेतों को याद रखें):

अब, इसे स्वयं आज़माएँ (फिर से, बिना कैलकुलेटर के!):

अच्छा, क्या यह काम किया? शाबाश, यह सही है!

आइए इसे संक्षेप में बताएं

1. किसी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग बराबर होता है।
   .
2. यदि हम किसी चीज़ का केवल वर्गमूल निकालते हैं, तो हमें हमेशा एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है।
3. अंकगणितीय मूल के गुण:
4. वर्गमूलों की तुलना करते समय यह याद रखना आवश्यक है कि मूल चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा।

वर्गमूल कैसा है? सब साफ?

हमने बिना किसी झंझट के आपको वर्गमूल के बारे में वह सब कुछ समझाने की कोशिश की जो परीक्षा में आपको जानना आवश्यक है।

यह आपकी बारी है। यह विषय आपके लिए कठिन है या नहीं, हमें लिखें।

क्या आपने कुछ नया सीखा या सब कुछ पहले से ही स्पष्ट था?

टिप्पणियों में लिखें और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!