कोण सकारात्मक और नकारात्मक है. घूर्णन कोण, मनमाना मान का कोण. वृत्ताकार चापों का उपयोग करके कोण मापना। चाप और कोण के लिए इकाइयाँ

अल्फ़ा वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिह्न इंगित करता है कि यदि आप अनंत में कोई संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय को एक उदाहरण के रूप में लें, तो विचारित उदाहरणों को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए कि वे सही थे, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों के साथ आए। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी तरीकों को तंबूरा के साथ नृत्य करने वाले ओझाओं के रूप में देखता हूं। अनिवार्य रूप से, वे सभी इस तथ्य पर आते हैं कि या तो कुछ कमरे खाली हैं और नए मेहमान अंदर आ रहे हैं, या कि कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया गया है (बहुत मानवीय तरीके से)। मैंने ऐसे निर्णयों पर अपना दृष्टिकोण सुनहरे बालों वाली एक काल्पनिक कहानी के रूप में प्रस्तुत किया। मेरा तर्क किस पर आधारित है? अनंत संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। जब हम किसी अतिथि के लिए पहला कमरा खाली कर देते हैं, तो आगंतुकों में से एक हमेशा समय के अंत तक अपने कमरे से अगले कमरे तक गलियारे के साथ चलता रहेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खतापूर्ण ढंग से नजरअंदाज किया जा सकता है, लेकिन यह "मूर्खों के लिए कोई कानून नहीं लिखा जाता" की श्रेणी में होगा। यह सब इस पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के अनुसार समायोजित करना या इसके विपरीत।

"अंतहीन होटल" क्या है? अनंत होटल एक ऐसा होटल है जिसमें हमेशा किसी भी संख्या में खाली बिस्तर होते हैं, चाहे कितने भी कमरे भरे हों। यदि अंतहीन "आगंतुक" गलियारे के सभी कमरे भरे हुए हैं, तो "अतिथि" कमरों वाला एक और अंतहीन गलियारा है। ऐसे गलियारों की संख्या अनंत होगी। इसके अलावा, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत संख्या में ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत संख्या में मंजिलें हैं। गणितज्ञ रोजमर्रा की सामान्य समस्याओं से खुद को दूर नहीं कर पा रहे हैं: हमेशा एक ही ईश्वर-अल्लाह-बुद्ध होता है, एक ही होटल होता है, एक ही गलियारा होता है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को जोड़ने की कोशिश कर रहे हैं, और हमें आश्वस्त कर रहे हैं कि "असंभव को आगे बढ़ाना" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क प्रदर्शित करूंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देना होगा: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि संख्याओं का आविष्कार हमने स्वयं किया है; प्रकृति में संख्याओं का अस्तित्व नहीं है। हाँ, प्रकृति गिनती करने में माहिर है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जिनसे हम परिचित नहीं हैं। मैं तुम्हें फिर कभी बताऊंगा कि प्रकृति क्या सोचती है। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं। आइए दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि वास्तविक वैज्ञानिकों को करना चाहिए।

विकल्प एक. "हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक एकल सेट, जो शेल्फ पर शांति से रखा हुआ है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्या नहीं बची है और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक भी नहीं जोड़ सकते, क्योंकि यह हमारे पास पहले से ही मौजूद है। यदि आप वास्तव में चाहते हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम जो सेट पहले ही ले चुके हैं उसमें से एक ले सकते हैं और उसे शेल्फ में वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक ले सकते हैं और जो हमारे पास बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट प्राप्त होगा। आप हमारे सभी जोड़तोड़ को इस प्रकार लिख सकते हैं:

मैंने सेट के तत्वों की विस्तृत सूची के साथ, बीजगणितीय नोटेशन और सेट सिद्धांत नोटेशन में क्रियाओं को लिखा। सबस्क्रिप्ट इंगित करती है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का केवल और केवल एक सेट है। इससे पता चलता है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटा दिया जाए और वही इकाई जोड़ दी जाए।

विकल्प दो. हमारे शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। आइए इनमें से एक सेट लें। फिर हम प्राकृतिक संख्याओं के दूसरे सेट से एक लेते हैं और इसे उस सेट में जोड़ते हैं जो हमने पहले ही ले लिया है। हम प्राकृतिक संख्याओं के दो सेट भी जोड़ सकते हैं। हमें यही मिलता है:

उपस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि आप एक अनंत सेट में एक और अनंत सेट जोड़ते हैं, तो परिणाम एक नया अनंत सेट होता है जिसमें पहले दो सेट के तत्व शामिल होते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का उपयोग गिनती के लिए उसी प्रकार किया जाता है जैसे रूलर का उपयोग मापने के लिए किया जाता है। अब कल्पना करें कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ा। यह एक अलग लाइन होगी, मूल लाइन के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को मानें या न मानें - यह आपका अपना मामला है। लेकिन यदि आपको कभी गणितीय समस्याओं का सामना करना पड़े, तो इस बारे में सोचें कि क्या आप गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा अपनाए गए झूठे तर्क के मार्ग का अनुसरण कर रहे हैं। आख़िरकार, गणित का अध्ययन, सबसे पहले, हमारे अंदर सोच की एक स्थिर रूढ़ि बनाता है, और उसके बाद ही हमारी मानसिक क्षमताओं में वृद्धि करता है (या, इसके विपरीत, हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करता है)।

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख की पोस्टस्क्रिप्ट समाप्त कर रहा था और विकिपीडिया पर यह अद्भुत पाठ देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में समग्र चरित्र नहीं था और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान तकनीकों के एक सेट में सिमट गया था।"

बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियाँ कितनी अच्छी तरह देख पाते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी सन्दर्भ में देखना हमारे लिए कठिन है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा व्याख्या करते हुए, मुझे व्यक्तिगत रूप से निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित का समृद्ध सैद्धांतिक आधार प्रकृति में समग्र नहीं है और एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए ज्यादा दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से भिन्न हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट गलतियों के लिए प्रकाशनों की एक पूरी श्रृंखला समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

किसी समुच्चय को उपसमुच्चय में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। आइए एक उदाहरण देखें.

हमारे पास बहुत कुछ हो एचार लोगों से मिलकर बना है. यह समुच्चय "लोग" के आधार पर बना है आइए इस समुच्चय के तत्वों को अक्षर से निरूपित करें ए, एक संख्या वाली सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रम संख्या को इंगित करेगी। आइए माप की एक नई इकाई "लिंग" का परिचय दें और इसे अक्षर से निरूपित करें बी. चूँकि यौन विशेषताएँ सभी लोगों में अंतर्निहित होती हैं, हम समुच्चय के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं एलिंग के आधार पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोगों" का समूह अब "लिंग विशेषताओं वाले लोगों" का समूह बन गया है। इसके बाद हम लैंगिक विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं की बी.डब्ल्यूयौन विशेषताएँ. अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इन यौन विशेषताओं में से एक का चयन करते हैं, चाहे कोई भी हो - पुरुष या महिला। यदि किसी व्यक्ति के पास यह है तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम नियमित स्कूली गणित का उपयोग करते हैं। देखो क्या हुआ.

गुणन, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुषों का उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक उपसमूह बउ. गणितज्ञ जब सेट सिद्धांत को व्यवहार में लागू करते हैं तो लगभग उसी तरह से तर्क करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण नहीं बताते हैं, लेकिन हमें अंतिम परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक उपसमूह और महिलाओं का एक उपसमूह होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: ऊपर उल्लिखित परिवर्तनों में गणित को कितनी सही ढंग से लागू किया गया है? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि, संक्षेप में, परिवर्तन सही ढंग से किए गए थे; यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित की अन्य शाखाओं के गणितीय आधार को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में फिर कभी बताऊंगा.

जहां तक ​​सुपरसेट का सवाल है, आप इन दोनों सेटों के तत्वों में मौजूद माप की इकाई का चयन करके दो सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ सकते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत का अवशेष बनाते हैं। सेट सिद्धांत के साथ सब कुछ ठीक नहीं होने का संकेत यह है कि गणितज्ञ सेट सिद्धांत के लिए अपनी भाषा और संकेतन लेकर आए हैं। गणितज्ञों ने एक बार जादूगरों की तरह काम किया था। केवल जादूगर ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। वे हमें यह "ज्ञान" सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं।

सोमवार, 7 जनवरी 2019

ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपना प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" एपोरिया है। यहाँ यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... चर्चाएँ आज भी जारी हैं; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना पाया है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं जिस बात पर विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

मैं आपको पहले ही बता चुका हूं कि ओझा किसकी मदद से वास्तविकता को सुलझाने की कोशिश करते हैं। वे ऐसा कैसे करते हैं? समुच्चय का निर्माण वास्तव में कैसे होता है?

आइए समुच्चय की परिभाषा पर करीब से नज़र डालें: "विभिन्न तत्वों का एक संग्रह, जिसकी कल्पना एक संपूर्ण के रूप में की जाती है।" अब दो वाक्यांशों के बीच अंतर महसूस करें: "संपूर्ण रूप से बोधगम्य" और "संपूर्ण रूप से बोधगम्य।" पहला वाक्यांश अंतिम परिणाम, सेट है। दूसरा वाक्यांश भीड़ के गठन के लिए प्रारंभिक तैयारी है। इस स्तर पर, वास्तविकता को अलग-अलग तत्वों ("संपूर्ण") में विभाजित किया जाता है, जिससे फिर एक भीड़ बनेगी ("एकल संपूर्ण")। साथ ही, वह कारक जो "संपूर्ण" को "एकल संपूर्ण" में संयोजित करना संभव बनाता है, उसकी सावधानीपूर्वक निगरानी की जाती है, अन्यथा शेमस सफल नहीं होंगे। आख़िरकार, ओझाओं को पहले से पता होता है कि वे हमें कौन सा सेट दिखाना चाहते हैं।

मैं आपको एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "मुँहासे में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और धनुष के बिना भी हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" का हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह से जादूगर अपने निर्धारित सिद्धांत को वास्तविकता से जोड़कर अपना भोजन प्राप्त करते हैं।

अब चलिए एक छोटी सी ट्रिक करते हैं. आइए "एक धनुष के साथ एक दाना के साथ ठोस" लें और लाल तत्वों का चयन करते हुए, रंग के अनुसार इन "संपूर्ण" को मिलाएं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब अंतिम प्रश्न: क्या परिणामी सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट हैं या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका उत्तर केवल ओझा ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ भी नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही होगा।

यह सरल उदाहरण दर्शाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक दाना और एक धनुष के साथ लाल ठोस" का एक सेट बनाया। माप की चार अलग-अलग इकाइयों में गठन हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (पिम्पली), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट ही हमें गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करने की अनुमति देता है. यह है जो ऐसा लग रहा है।

विभिन्न सूचकांकों वाला अक्षर "ए" माप की विभिन्न इकाइयों को इंगित करता है। माप की इकाइयाँ जिनके द्वारा प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" को प्रतिष्ठित किया जाता है, कोष्ठक में हाइलाइट किया गया है। माप की वह इकाई जिससे सेट बनता है, कोष्ठक से हटा दिया जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम एक सेट बनाने के लिए माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, तंबूरा के साथ जादूगरों का नृत्य नहीं। शमां "सहज ज्ञान" से उसी परिणाम पर आ सकते हैं, यह तर्क देते हुए कि यह "स्पष्ट" है, क्योंकि माप की इकाइयाँ उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार का हिस्सा नहीं हैं।

माप की इकाइयों का उपयोग करके, एक सेट को विभाजित करना या कई सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।

शनिवार, 30 जून 2018

यदि गणितज्ञ एक अवधारणा को अन्य अवधारणाओं तक सीमित नहीं कर सकते, तो वे गणित के बारे में कुछ भी नहीं समझते हैं। मैं उत्तर देता हूं: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? उत्तर बहुत सरल है: संख्याएँ और माप की इकाइयाँ।

आज, जो कुछ भी हम नहीं लेते वह किसी न किसी सेट से संबंधित है (जैसा कि गणितज्ञ हमें आश्वस्त करते हैं)। वैसे, क्या आपने अपने माथे पर लगे दर्पण में उन सेटों की सूची देखी है जिनसे आप संबंधित हैं? और मैंने ऐसी कोई सूची नहीं देखी है. मैं और अधिक कहूंगा - वास्तव में किसी भी चीज़ पर उन सेटों की सूची वाला टैग नहीं है जिनसे यह चीज़ संबंधित है। सेट सभी जादूगरों के आविष्कार हैं। वे यह कैसे करते हैं? आइए इतिहास में थोड़ा गहराई से देखें और देखें कि सेट के तत्व गणितज्ञ ओझाओं द्वारा अपने सेट में ले जाने से पहले कैसे दिखते थे।

बहुत समय पहले, जब किसी ने गणित के बारे में कभी नहीं सुना था, और केवल पेड़ों और शनि के छल्ले थे, सेट के जंगली तत्वों के विशाल झुंड भौतिक क्षेत्रों में घूमते थे (आखिरकार, जादूगरों ने अभी तक गणितीय क्षेत्रों का आविष्कार नहीं किया था)। वे कुछ इस तरह दिखते थे.

हां, आश्चर्यचकित न हों, गणित के दृष्टिकोण से, सेट के सभी तत्व समुद्री अर्चिन के समान हैं - एक बिंदु से, सुई की तरह, माप की इकाइयां सभी दिशाओं में चिपक जाती हैं। उन लोगों के लिए, मैं आपको याद दिलाता हूं कि माप की किसी भी इकाई को ज्यामितीय रूप से मनमानी लंबाई के खंड के रूप में और एक संख्या को एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, किसी भी मात्रा को एक बिंदु से अलग-अलग दिशाओं में चिपके हुए खंडों के समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह बिंदु बिंदु शून्य है. मैं ज्यामितीय कला का यह टुकड़ा नहीं बनाऊंगा (कोई प्रेरणा नहीं), लेकिन आप आसानी से इसकी कल्पना कर सकते हैं।

माप की कौन सी इकाइयाँ किसी सेट का एक तत्व बनाती हैं? सभी प्रकार की चीज़ें जो किसी दिए गए तत्व का विभिन्न दृष्टिकोण से वर्णन करती हैं। ये माप की प्राचीन इकाइयाँ हैं जिनका उपयोग हमारे पूर्वज करते थे और जिनके बारे में हर कोई लंबे समय से भूल गया है। ये माप की आधुनिक इकाइयाँ हैं जिनका हम अब उपयोग करते हैं। ये हमारे लिए अज्ञात माप की इकाइयाँ भी हैं, जिन्हें हमारे वंशज आविष्कार करेंगे और जिनका उपयोग वे वास्तविकता का वर्णन करने के लिए करेंगे।

हमने ज्यामिति को सुलझा लिया है - सेट के तत्वों के प्रस्तावित मॉडल में स्पष्ट ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। भौतिकी के बारे में क्या? माप की इकाइयाँ गणित और भौतिकी के बीच सीधा संबंध हैं। यदि जादूगर माप की इकाइयों को गणितीय सिद्धांतों के पूर्ण तत्व के रूप में नहीं पहचानते हैं, तो यह उनकी समस्या है। मैं व्यक्तिगत रूप से माप की इकाइयों के बिना गणित के वास्तविक विज्ञान की कल्पना नहीं कर सकता। इसीलिए सेट सिद्धांत के बारे में कहानी की शुरुआत में ही मैंने इसके पाषाण युग में होने की बात कही थी।

लेकिन आइए सबसे दिलचस्प बात पर चलते हैं - सेट के तत्वों का बीजगणित। बीजगणितीय रूप से, किसी समुच्चय का कोई भी तत्व विभिन्न मात्राओं का गुणनफल (गुणन का परिणाम) होता है। यह इस तरह दिखता है।

मैंने जानबूझकर सेट सिद्धांत की परंपराओं का उपयोग नहीं किया, क्योंकि हम सेट सिद्धांत के उद्भव से पहले अपने प्राकृतिक वातावरण में एक सेट के एक तत्व पर विचार कर रहे हैं। कोष्ठक में अक्षरों का प्रत्येक जोड़ा एक अलग मात्रा को दर्शाता है, जिसमें अक्षर द्वारा इंगित एक संख्या शामिल होती है। एन"और पत्र द्वारा इंगित माप की इकाई" ए"। अक्षरों के आगे के सूचकांक दर्शाते हैं कि माप की संख्याएँ और इकाइयाँ अलग-अलग हैं। सेट के एक तत्व में अनंत संख्या में मात्राएँ शामिल हो सकती हैं (हम और हमारे वंशजों के पास कितनी कल्पना है)। प्रत्येक ब्रैकेट को ज्यामितीय रूप से दर्शाया गया है एक अलग खंड। समुद्री अर्चिन के उदाहरण में एक ब्रैकेट एक सुई है।

शेमस विभिन्न तत्वों से सेट कैसे बनाते हैं? वास्तव में, माप की इकाइयों द्वारा या संख्याओं द्वारा। गणित के बारे में कुछ भी न समझते हुए, वे अलग-अलग समुद्री अर्चिन लेते हैं और उस एक सुई की तलाश में उनकी सावधानीपूर्वक जांच करते हैं, जिसके साथ वे एक सेट बनाते हैं। यदि ऐसी कोई सुई है, तो यह तत्व इस सेट का है; यदि ऐसी कोई सुई नहीं है, तो यह तत्व इस सेट का नहीं है। शमां हमें विचार प्रक्रियाओं और समग्रता के बारे में दंतकथाएँ सुनाते हैं।

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, एक ही तत्व बहुत भिन्न सेटों से संबंधित हो सकता है। आगे मैं आपको दिखाऊंगा कि समुच्चय, उपसमुच्चय और अन्य शर्मनाक बकवास कैसे बनते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था प्रत्येक सिक्के के लिए अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

एक विज्ञान के रूप में त्रिकोणमिति की उत्पत्ति प्राचीन पूर्व में हुई थी। पहला त्रिकोणमितीय अनुपात खगोलविदों द्वारा सितारों द्वारा सटीक कैलेंडर और अभिविन्यास बनाने के लिए प्राप्त किया गया था। ये गणनाएँ गोलाकार त्रिकोणमिति से संबंधित हैं, जबकि स्कूल पाठ्यक्रम में वे एक समतल त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के अनुपात का अध्ययन करते हैं।

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों और त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों से संबंधित है।

पहली सहस्राब्दी ईस्वी में संस्कृति और विज्ञान के उत्कर्ष के दौरान, ज्ञान प्राचीन पूर्व से ग्रीस तक फैल गया। लेकिन त्रिकोणमिति की मुख्य खोजें अरब खलीफा के लोगों की योग्यता हैं। विशेष रूप से, तुर्कमेन वैज्ञानिक अल-मरज़वी ने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जैसे कार्यों की शुरुआत की, और साइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए मूल्यों की पहली तालिकाएँ संकलित कीं। साइन और कोसाइन की अवधारणाएँ भारतीय वैज्ञानिकों द्वारा प्रस्तुत की गईं। यूक्लिड, आर्किमिडीज़ और एराटोस्थनीज जैसी प्राचीन काल की महान हस्तियों के कार्यों में त्रिकोणमिति पर बहुत ध्यान दिया गया।

त्रिकोणमिति की मूल मात्राएँ

एक संख्यात्मक तर्क के मूल त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना ग्राफ है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट।

इन मात्राओं के मानों की गणना के सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित हैं। यह सूत्रीकरण स्कूली बच्चों को बेहतर ज्ञात है: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं," क्योंकि प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के उदाहरण का उपयोग करके दिया गया है।

साइन, कोसाइन और अन्य संबंध किसी भी समकोण त्रिभुज के न्यून कोण और भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करते हैं। आइए कोण A के लिए इन मात्राओं की गणना के लिए सूत्र प्रस्तुत करें और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों का पता लगाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, tg और ctg व्युत्क्रम फलन हैं। यदि हम पैर ए को पाप ए और कर्ण सी के उत्पाद के रूप में कल्पना करते हैं, और पैर बी को कॉस ए * सी के रूप में कल्पना करते हैं, तो हमें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

त्रिकोणमितीय वृत्त

ग्राफ़िक रूप से, उल्लिखित मात्राओं के बीच संबंध को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

इस मामले में वृत्त, कोण α के सभी संभावित मानों का प्रतिनिधित्व करता है - 0° से 360° तक। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, प्रत्येक फ़ंक्शन कोण के आधार पर एक नकारात्मक या सकारात्मक मान लेता है। उदाहरण के लिए, यदि α वृत्त की पहली और दूसरी तिमाही से संबंधित है, यानी यह 0° से 180° की सीमा में है, तो पाप α में "+" चिह्न होगा। α के लिए 180° से 360° (III और IV तिमाही) तक, पाप α केवल एक नकारात्मक मान हो सकता है।

आइए विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय तालिकाएँ बनाने का प्रयास करें और मात्राओं का अर्थ जानें।

30°, 45°, 60°, 90°, 180° इत्यादि के बराबर α के मान विशेष मामले कहलाते हैं। उनके लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना की जाती है और विशेष तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

इन कोणों को यादृच्छिक रूप से नहीं चुना गया था। तालिकाओं में पदनाम π रेडियन के लिए है। रेड वह कोण है जिस पर किसी वृत्त के चाप की लंबाई उसकी त्रिज्या से मेल खाती है। यह मान एक सार्वभौमिक निर्भरता स्थापित करने के लिए पेश किया गया था; रेडियन में गणना करते समय, सेमी में त्रिज्या की वास्तविक लंबाई कोई मायने नहीं रखती।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तालिकाओं में कोण रेडियन मानों के अनुरूप होते हैं:

इसलिए, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि 2π एक पूर्ण वृत्त या 360° है।

त्रिकोणमितीय फलनों के गुण: ज्या और कोज्या

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल गुणों पर विचार करने और तुलना करने के लिए, उनके कार्यों को चित्रित करना आवश्यक है। इसे द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में स्थित वक्र के रूप में किया जा सकता है।

साइन और कोसाइन के गुणों की तुलनात्मक तालिका पर विचार करें:

यह निर्धारित करना कि कोई फ़ंक्शन सम है या नहीं, बहुत सरल है। त्रिकोणमितीय मात्राओं के संकेतों के साथ एक त्रिकोणमितीय वृत्त की कल्पना करना और ओएक्स अक्ष के सापेक्ष ग्राफ को मानसिक रूप से "गुना" करना पर्याप्त है। यदि चिह्न मेल खाते हैं, तो फलन सम है, अन्यथा विषम है।

रेडियन का परिचय और साइन और कोसाइन तरंगों के मूल गुणों की सूची हमें निम्नलिखित पैटर्न प्रस्तुत करने की अनुमति देती है:

यह सत्यापित करना बहुत आसान है कि सूत्र सही है। उदाहरण के लिए, x = π/2 के लिए, ज्या 1 है, जैसा कि x = 0 की कोज्या है। जाँच तालिकाओं से परामर्श करके या दिए गए मानों के लिए फ़ंक्शन वक्रों का पता लगाकर की जा सकती है।

टैंगेंजेंटोइड्स और कोटेंजेंटोइड्स के गुण

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्यों के ग्राफ़ साइन और कोसाइन फ़ंक्शन से काफी भिन्न होते हैं। मान tg और ctg एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

1. वाई = टैन एक्स.
2. स्पर्शरेखा x = π/2 + πk पर y के मानों की ओर प्रवृत्त होती है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुँचती है।
3. स्पर्शरेखा का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त π है।
4. Tg (- x) = - tg x, अर्थात फलन विषम है।
5. Tg x = 0, x = πk के लिए।
6. कार्य बढ़ रहा है.
7. टीजी x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
8. टीजी x ‹ 0, x ϵ के लिए (- π/2 + πk, πk)।
9. व्युत्पन्न (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

पाठ में नीचे कोटैंजेंटॉइड की ग्राफिक छवि पर विचार करें।

कोटैंजेंटोइड्स के मुख्य गुण:

1. वाई = खाट एक्स.
2. साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के विपरीत, स्पर्शरेखा में Y सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के मान ले सकता है।
3. कोटैंजेंटॉइड x = πk पर y के मान की ओर प्रवृत्त होता है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता है।
4. कोटैंगेंटोइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि π है।
5. Ctg (- x) = - ctg x, अर्थात फलन विषम है।
6. सीटीजी x = 0, x = π/2 + πk के लिए।
7. कार्य कम हो रहा है.
8. Ctg x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
9. सीटीजी x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) के लिए।
10. व्युत्पन्न (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x सही

आइए गतिमान त्रिज्या वेक्टर के वामावर्त दिशा में घूर्णन को सकारात्मक और विपरीत दिशा (घड़ी की दिशा) को नकारात्मक कहते हैं। गतिमान त्रिज्या वेक्टर के ऋणात्मक घूर्णन द्वारा वर्णित कोण को ऋणात्मक कोण कहा जाएगा।

नियम। यदि कोण धनात्मक है तो इसे धनात्मक संख्या से और यदि ऋणात्मक है तो ऋणात्मक संख्या से मापा जाता है।

उदाहरण 1. चित्र में. 80 एक सामान्य प्रारंभिक पक्ष OA और एक सामान्य अंत पक्ष OD के साथ दो कोण दिखाता है: एक +270° के बराबर है, दूसरा -90° के बराबर है।

दो कोणों का योग. निर्देशांक तल ऑक्सी पर, मूल बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई त्रिज्या के एक वृत्त पर विचार करें (चित्र 81)।

मान लीजिए कि एक निश्चित गतिमान त्रिज्या वेक्टर के प्रारंभिक स्थिति OA से, ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाते हुए, उसकी अंतिम स्थिति तक घूमने के परिणामस्वरूप एक मनमाना कोण a (ड्राइंग में सकारात्मक) प्राप्त होता है।

आइए अब हम त्रिज्या वेक्टर OE की स्थिति को प्रारंभिक स्थिति के रूप में लें और इससे एक मनमाना कोण अलग रखें (चित्र में सकारात्मक), जो हमें एक निश्चित गतिमान त्रिज्या वेक्टर को उसकी प्रारंभिक स्थिति OE से उसकी ओर घुमाने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। अंतिम स्थिति ओएस. इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, हमें एक कोण प्राप्त होगा, जिसे हम कोणों का योग a और कहेंगे। (गतिमान त्रिज्या वेक्टर OA की प्रारंभिक स्थिति, त्रिज्या वेक्टर OS की अंतिम स्थिति।)

दो कोणों के बीच अंतर.

दो कोणों a और के अंतर से, जिसे हम निरूपित करते हैं, हम तीसरे कोण y को समझेंगे, जो कोण के योग में कोण a देता है, अर्थात यदि दो कोणों के अंतर को कोण a और के योग के रूप में समझा जा सकता है। वास्तव में, सामान्य तौर पर, किसी भी कोण के लिए उनका योग उन वास्तविक संख्याओं के बीजगणितीय योग से मापा जाता है जो इन कोणों को मापते हैं।

उदाहरण 2. फिर ।

उदाहरण 3. कोण , और कोण . इनका योग.

सूत्र (95.1) में यह माना गया कि - कोई भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक। यदि हम मान लें कि वह कोई पूर्णांक (धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य) है, तो सूत्र का उपयोग करें

जहां आप कोई भी कोण लिख सकते हैं, सकारात्मक और नकारात्मक दोनों।

उदाहरण 4. -1370° के बराबर कोण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ध्यान दें कि सूत्र (96.1) का उपयोग करके लिखे गए सभी कोण, के विभिन्न मानों के साथ, लेकिन समान ए, में सामान्य प्रारंभिक (ओए) और अंतिम (ओई) भुजाएं होती हैं (चित्र 79)। इसलिए, किसी भी कोण का निर्माण 360° से कम के संगत गैर-ऋणात्मक कोण के निर्माण तक सीमित हो जाता है। चित्र में. 79 कोण एक दूसरे से भिन्न नहीं हैं; वे केवल त्रिज्या वेक्टर के घूर्णन की प्रक्रिया में भिन्न हैं, जिसके कारण उनका गठन हुआ।

लेकिन यह मत भूलिए कि अधिकतम मोड़ कोण जितना छोटा होगा, कार का मोड़ त्रिज्या उतना ही छोटा होगा। वे। अंदर घूमना सिमित जगहयह बहुत कठिन होगा. इसलिए निर्माताओं को एक बड़े मोड़ त्रिज्या और नियंत्रण सटीकता के बीच पैंतरेबाज़ी करते हुए किसी प्रकार के "सुनहरे मतलब" की तलाश करनी होगी।

पहिया संरेखण कोण बदलना और उन्हें समायोजित करना

पिरी रीस मानचित्र की तुलना आधुनिक मानचित्र प्रक्षेपण से की गई है। इस प्रकार, वह इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि एक रहस्यमय नक्शा दुनिया भर में घूम रहा था, जैसा कि काहिरा के ऊपर मंडरा रहे एक उपग्रह से देखा गया था। दूसरे शब्दों में, महान पिरामिड के ऊपर। यह आश्चर्य की बात है कि मिस्रविज्ञानी लगातार इन स्थानों का बचाव करते हैं, हालांकि हाल ही में खोजे गए एक गलियारे की समीक्षा की गई है और अभी तक कोई सफलता नहीं मिली है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि पिरामिड में असामान्य साइकोट्रॉनिक प्रभाव पाए गए हैं, जो अन्य बातों के अलावा, मानव स्वास्थ्य को प्रभावित कर सकते हैं। हम स्थानिक साइकोट्रॉनिक्स के बारे में बात कर रहे हैं, जो ऊर्जावान और भू-चुंबकीय दोनों "विसंगतिपूर्ण क्षेत्र" बनाते हैं, जिनकी आगे जांच की जाती है।

जब पहिया घूमता है, तो पार्श्व बलों के प्रभाव में टायर विकृत हो जाता है। और सड़क के साथ अधिकतम संपर्क पैच बनाए रखने के लिए, कार का पहिया भी मोड़ की दिशा में झुक जाता है। लेकिन हर जगह आपको यह जानना होगा कि कब रुकना है, क्योंकि बहुत बड़े कैस्टर के साथ, कार का पहिया जोर से झुक जाएगा और फिर पकड़ खो देगा।

शुरू में, अनुप्रस्थ कोणकार के सस्पेंशन की कमियों को दूर करने के लिए इंजीनियरों द्वारा स्टीयरिंग अक्ष के झुकाव का उपयोग किया गया था। इससे कार की पॉजिटिव कैमर और पॉजिटिव रोलिंग शोल्डर जैसी "बीमारियों" से छुटकारा मिल गया।

पुरातात्विक खुदाई के दौरान, फैले हुए पंखों वाले पक्षियों के रूप में अजीब अंत्येष्टि प्रसाद भी पाए गए। इन विषयों के बाद के वायुगतिकीय अध्ययनों से पता चला कि वे संभवतः प्राचीन ग्लाइडर मॉडल थे। उनमें से एक को "आमोन का उपहार" शिलालेख के साथ खोजा गया था। मिस्र में देवता अमून को हवा के देवता के रूप में पूजा जाता था, इसलिए उड़ान से इसका संबंध स्पष्ट है।

लेकिन विकास की प्रारंभिक अवस्था के बिना इस प्राचीन सभ्यता के सदस्यों को यह ज्ञान कैसे हुआ? इस मामले में उत्तर केवल यही है. यह ज्ञान उस समय की सरकारों से आया था, जिन्हें मिस्रवासी अपना देवता कहते थे। यह संभव है कि 000 वर्ष से अधिक पुरानी तकनीकी रूप से उन्नत सभ्यता के सदस्य बिना किसी निशान के गायब हो गए हों।

कई कारें MacPherson प्रकार के सस्पेंशन का उपयोग करती हैं। यह नकारात्मक या शून्य रोलिंग उत्तोलन प्राप्त करना संभव बनाता है। आख़िरकार, पहिये की स्टीयरिंग धुरी में एक एकल लीवर का समर्थन होता है, जिसे आसानी से पहिये के अंदर रखा जा सकता है। लेकिन यह सस्पेंशन भी सही नहीं है, क्योंकि इसके डिज़ाइन के कारण टर्निंग एक्सिस के झुकाव के कोण को छोटा बनाना लगभग असंभव है। मुड़ते समय, यह बाहरी पहिये को एक प्रतिकूल कोण (सकारात्मक ऊँट की तरह) पर झुका देता है, जबकि आंतरिक पहिया एक साथ विपरीत दिशा में झुक जाता है।

लेकिन ऐसी सुविधाएं अभी भी कम आपूर्ति में हैं। वे टूट जाते हैं, उन्हें नष्ट किया जा सकता है, लेकिन इसे मंदिरों, पिरामिडों और अन्य प्रतिष्ठित इमारतों में भी अच्छी तरह से छिपाया जा सकता है, जो "खजाना शिकारियों" के खिलाफ ठीक से सुरक्षित होकर स्थिर रह सकते हैं।

ग्रेट पिरामिड के आकार और डिज़ाइन की सटीकता की कभी बराबरी नहीं की गई। पिरामिड का वजन लगभग छह मिलियन टन है। एफिल टॉवर के रूप में अपनी स्थिति में, ग्रेट पिरामिड दुनिया की सबसे ऊंची इमारत थी। इसके निर्माण में 20 लाख से अधिक पत्थरों का उपयोग किया गया था। एक भी पत्थर का वजन एक टन से कम नहीं है।

परिणामस्वरूप, बाहरी पहिये का संपर्क पैच बहुत कम हो जाता है। और चूँकि मुड़ते समय बाहरी पहिया मुख्य भार वहन करता है, इसलिए पूरा धुरा बहुत अधिक कर्षण खो देता है। निःसंदेह, इसकी आंशिक भरपाई ढलाईकार और ऊँट द्वारा की जा सकती है। तब बाहरी पहिये की पकड़ अच्छी हो जाएगी, लेकिन भीतरी पहिये की पकड़ व्यावहारिक रूप से गायब हो जाएगी।

कार का पहिया संरेखण

पर पीछे का एक्सेलसकारात्मक व्हील टो-इन के साथ, सीधी रेखा में चलते समय कार अधिक स्थिर होगी, और यदि वहाँ है नकारात्मक पैर की अंगुली- तो कार अनुचित व्यवहार करेगी और अगल-बगल से खराब हो जाएगी।

और कुछ सत्तर टन से भी अधिक। अंदर, कोशिकाएँ गलियारों द्वारा जुड़ी हुई हैं। आज, यह एक खुरदरा पत्थर का पिरामिड है, लेकिन एक बार इसे संसाधित किया गया था दर्पण की चमकचिनाई ऐसा माना जाता है कि ग्रेट पिरामिड के शिखर को शुद्ध सोने से सजाया गया है। सूरज की किरणों ने सैकड़ों किलोमीटर को अंधा कर दिया। सदियों से, विशेषज्ञ पिरामिडों के उद्देश्य के बारे में अनुमान लगाते रहे हैं। पारंपरिक सिद्धांत कहता है कि पिरामिड मृत्यु के बाद के जीवन का एक प्रतीकात्मक प्रवेश द्वार थे। दूसरों का मानना ​​है कि पिरामिड एक खगोलीय वेधशाला थी। कुछ लोग कहते हैं कि मदद भौगोलिक आयाम में है.

लेकिन यह याद रखना चाहिए कि कार के पैर के अंगूठे के शून्य से अत्यधिक विचलन से सीधी रेखा में चलने पर रोलिंग प्रतिरोध बढ़ जाएगा; कोनों में यह कम ध्यान देने योग्य होगा।

पहिये का ऊँट

यदि आप कार के सामने से देखते हैं, और पहिए अंदर की ओर झुकते हैं, तो यह नकारात्मक ऊँट है, और यदि वे कार के बाहर की ओर झुकते हैं, तो यह सकारात्मक ऊँट है। पहिए और सड़क की सतह के बीच पकड़ बनाए रखने के लिए व्हील कैमर आवश्यक है।

एक काल्पनिक सिद्धांत का दावा है कि महान पिरामिड अन्न भंडार पर था। हालाँकि, विशेषज्ञ आज आम तौर पर इस बात से सहमत हैं कि पिरामिड सिर्फ एक विशाल मकबरे से कहीं अधिक थे। वैज्ञानिकों का तर्क है कि विशाल पिरामिड तकनीक मानव इतिहास के इस बिंदु पर लोगों के लिए उपलब्ध नहीं हो सकती थी जब ये इमारतें बनाई गई थीं। उदाहरण के लिए, पिरामिड की ऊंचाई पृथ्वी से सूर्य तक की दूरी से मेल खाती है। पिरामिड बिल्कुल सटीकता के साथ चार दुनियाओं की ओर उन्मुख था जिसे कभी हासिल नहीं किया गया।

और आश्चर्य की बात यह है कि ग्रेट पिरामिड पृथ्वी के बिल्कुल केंद्र में स्थित है। जिसने भी महान पिरामिड का निर्माण किया वह अक्षांश और देशांतर का सटीक निर्धारण कर सकता था। यह आश्चर्य की बात है क्योंकि देशांतर निर्धारण की तकनीक आधुनिक समय में सोलहवीं शताब्दी में खोजी गई थी। पिरामिड पृथ्वी के ठीक केंद्र पर बनाए गए थे। साथ ही पिरामिड की ऊंचाई काफी ऊंचाई से देखी जा सकती है, चंद्रमा से भी देखी जा सकती है। इसके अलावा, पिरामिड आकार राडार को प्रतिबिंबित करने के लिए सर्वश्रेष्ठ में से एक है। इन कारणों से कुछ शोधकर्ताओं को यह विश्वास हो गया है कि मिस्र के पिरामिडों का निर्माण उनके अन्य उद्देश्यों के अलावा संभावित विदेशी खोजकर्ताओं द्वारा नेविगेशन के लिए किया गया था।

ऊँट का कोण बदलनासीधी रेखा पर कार के व्यवहार को प्रभावित करता है, क्योंकि पहिये सड़क के लंबवत नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी अधिकतम पकड़ नहीं होती है। लेकिन ये सिर्फ असर करता है रियर व्हील ड्राइव कारेंफिसलन वाली जगह से शुरू करते समय।

जो लोग यह समझना चाहते हैं कि व्हील एलाइनमेंट एंगल (कैम्बर/टो) का क्या मतलब है और इस मुद्दे को पूरी तरह से समझना चाहते हैं, उनके लिए इस लेख में सभी सवालों के जवाब हैं।

चेप्स का पिरामिड काहिरा से ठीक आठ किलोमीटर पश्चिम में स्थित है। यह 1.6 वर्ग किलोमीटर क्षेत्रफल वाले कृत्रिम रूप से निर्मित फ्लैट पर बनाया गया है। इसका आधार 900 वर्ग मीटर तक फैला हुआ है और क्षैतिज होने पर लगभग मिलीमीटर चौड़ा है। निर्माण के लिए दो और तीन चौथाई दस लाख पत्थर के ब्लॉक का उपयोग किया गया था, जिनमें से सबसे भारी का वजन 70 टन तक था। वे इस तरह फिट बैठते हैं कि यह तथ्य एक रहस्य है। फिर भी, तकनीकी पक्षपिरामिड का निर्माण एक रहस्य बना हुआ है, क्योंकि यह आज की उन्नत तकनीक के लिए एक बड़ी चुनौती होगी।

इतिहास के भ्रमण से पता चलता है कि ऑटोमोबाइल के आगमन से बहुत पहले विभिन्न वाहनों पर परिष्कृत पहिया प्रतिष्ठानों का उपयोग किया जाता था। यहां कुछ अधिक या कम प्रसिद्ध उदाहरण दिए गए हैं।
यह कोई रहस्य नहीं है कि "गतिशील" ड्राइविंग के लिए बनाई गई कुछ गाड़ियों और अन्य घोड़े से खींची जाने वाली गाड़ियों के पहियों में बड़े, स्पष्ट रूप से दिखाई देने वाले पहिये लगाए गए थे। सकारात्मक ऊँट. ऐसा इसलिए किया गया ताकि पहियों से उड़ने वाली गंदगी गाड़ी और महत्वपूर्ण सवारियों में न गिरे, बल्कि किनारों पर बिखर जाए। इत्मीनान से आवाजाही के लिए उपयोगितावादी गाड़ियों के लिए, सब कुछ बिल्कुल विपरीत था। इस प्रकार, एक अच्छी गाड़ी बनाने के बारे में पूर्व-क्रांतिकारी मैनुअल में पहियों को स्थापित करने की सिफारिश की गई थी नकारात्मक ऊँट. इस मामले में, यदि पहिए को रोकने वाला डॉवेल खो गया था, तो वह तुरंत धुरी से नहीं उछला। ड्राइवर के पास चेसिस की क्षति को नोटिस करने का समय था, जो विशेष रूप से बड़ी परेशानियों से भरा था अगर गाड़ी में कई दर्जन पाउंड आटा था और कोई जैक नहीं था। बंदूक गाड़ियों के डिज़ाइन में (फिर से, इसके विपरीत), कभी-कभी सकारात्मक ऊँट का उपयोग किया जाता था। यह स्पष्ट है कि इसका उद्देश्य बंदूक को गंदगी से बचाना नहीं था। इससे नौकर के लिए अपने पैरों को कुचलने के डर के बिना, बगल से अपने हाथों से बंदूक को पहियों के पास घुमाना सुविधाजनक हो गया। लेकिन गाड़ी के विशाल पहिये, जिससे खाइयों पर चढ़ना आसान हो गया था, दूसरी दिशा में झुके हुए थे - गाड़ी की ओर। ट्रैक में परिणामी वृद्धि ने मध्य एशियाई "मोबाइल" की स्थिरता को बढ़ाने में मदद की, जो गुरुत्वाकर्षण के एक उच्च केंद्र द्वारा प्रतिष्ठित था। इनसे क्या लेना देना ऐतिहासिक तथ्यपहिए लगाने होंगे आधुनिक कारें? हाँ, सामान्य तौर पर, कोई नहीं। हालाँकि, वे एक उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। यह देखा जा सकता है कि पहियों की स्थापना (विशेष रूप से, उनके ऊँट) किसी एक पैटर्न के अधीन नहीं है।

इसलिए, ऐसी कोई परिकल्पना नहीं है कि पिरामिड के निर्माण में जादुई शक्तियों का उपयोग किया गया था - पपीरस पर लिखे जादुई सूत्रों ने पत्थर के भारी टुकड़ों को स्थानांतरित करना और उन्हें अद्भुत सटीकता के साथ एक दूसरे के ऊपर रखना संभव बना दिया। एडगर कैस ने कहा कि ये पिरामिड दस हजार साल पहले बनाए गए थे, जबकि अन्य लोगों का मानना ​​है कि पिरामिड अटलांटिस द्वारा बनाए गए थे, जिन्होंने अपने महाद्वीप को नष्ट करने वाली प्रलय से पहले, मुख्य रूप से मिस्र में शरण ली थी। उन्होंने वैज्ञानिक केंद्र बनाए, उन्होंने एक पिरामिडनुमा आश्रय स्थल भी बनाया जहां महान रहस्य छिपे हो सकते थे।

इस पैरामीटर को चुनते समय, प्रत्येक विशिष्ट मामले में "निर्माता" को विभिन्न विचारों द्वारा निर्देशित किया गया था, जिसे वह प्राथमिकता मानता था। तो, डिज़ाइनर का लक्ष्य क्या है? कार निलंबनयूयूके चुनते समय? निःसंदेह, आदर्श की ओर। सीधी रेखा में चलने वाली कार के लिए आदर्श पहियों की स्थिति मानी जाती है जब उनके घूर्णन के विमान (रोलिंग विमान) सड़क की सतह के लंबवत होते हैं, एक दूसरे के समानांतर होते हैं, शरीर की समरूपता की धुरी और गति के प्रक्षेप पथ के साथ मेल खाता है। इस मामले में, घर्षण और टायर के चलने के घिसाव के कारण बिजली की हानि न्यूनतम होती है, और सड़क के साथ पहियों का कर्षण, इसके विपरीत, अधिकतम होता है। स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या चीज़ आपको जानबूझकर आदर्श से भटकाती है? आगे देखते हुए, कई विचार दिए जा सकते हैं। सबसे पहले, जब कार स्थिर होती है तो हम स्थिर चित्र के आधार पर पहिया संरेखण का आकलन करते हैं। किसने कहा कि कार चलाते समय, तेज करते समय, ब्रेक लगाते समय और चलाते समय यह नहीं बदलती? दूसरे, घाटे को कम करना और टायर की आयु बढ़ाना हमेशा प्राथमिकता नहीं होती है। निलंबन डेवलपर्स किन कारकों को ध्यान में रखते हैं, इसके बारे में बात करने से पहले, आइए सहमत हों कि कार के निलंबन की ज्यामिति का वर्णन करने वाले बड़ी संख्या में मापदंडों से, हम खुद को केवल उन लोगों तक सीमित रखेंगे जो प्राथमिक या बुनियादी लोगों के समूह में शामिल हैं। उन्हें ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि वे निलंबन की सेटिंग्स और गुणों को निर्धारित करते हैं, इसके निदान के दौरान हमेशा निगरानी की जाती है और यदि ऐसी संभावना प्रदान की जाती है, तो उन्हें समायोजित किया जाता है। ये स्टीयरिंग पहियों के सुप्रसिद्ध टो, कैमर और स्टीयरिंग कोण हैं। इन सबसे महत्वपूर्ण मापदंडों पर विचार करते समय, हमें निलंबन की अन्य विशेषताओं को याद रखना होगा।

पिरामिड में 2.5 से 15 टन वजन वाले पत्थर के खंडों की 203 परतें हैं। आधार पर पिरामिड के निचले हिस्से में कुछ ब्लॉकों का वजन 50 टन तक है। मूल रूप से, पूरा पिरामिड बढ़िया सफेद और पॉलिश किए गए चूना पत्थर के खोल से ढका हुआ था, लेकिन पत्थर का उपयोग निर्माण के लिए किया गया था, खासकर क्षेत्र में लगातार भूकंप के बाद।

पिरामिड का वजन पृथ्वी के वजन 1:10 के अनुपात में है। पिरामिड अधिकतम 280 मिस्र हाथ का है, और आधार क्षेत्र 440 मिस्र हाथ है। यदि मूल पैटर्न को पिरामिड की ऊंचाई से दोगुना करके विभाजित किया जाता है, तो हमें लुडोल्फ संख्या - 3 मिलती है। लुडोल्फ आंकड़े से विचलन केवल 0.05% है। आधार का आधार एक वृत्त की परिधि के बराबर है जिसकी त्रिज्या पिरामिड की ऊंचाई के बराबर है।

टो-इन (टीओई) वाहन के अनुदैर्ध्य अक्ष के सापेक्ष पहियों के उन्मुखीकरण को दर्शाता है। प्रत्येक पहिये की स्थिति को दूसरों से अलग से निर्धारित किया जा सकता है, और फिर वे व्यक्तिगत पैर की अंगुली की बात करते हैं। ऊपर से देखने पर यह पहिये के घूमने के तल और कार की धुरी के बीच के कोण को दर्शाता है। एक धुरी पर पहियों का कुल टो-इन (या बस टो-इन)। जैसा कि नाम से पता चलता है, यह व्यक्तिगत कोणों का योग है। यदि पहियों के घूमने के तल कार के सामने एक दूसरे को काटते हैं, तो टो-इन सकारात्मक (टो-इन) होता है, यदि पीछे की ओर यह नकारात्मक (टो-आउट) होता है। बाद के मामले में, हम व्हील मिसलिग्न्मेंट के बारे में बात कर सकते हैं।
समायोजन डेटा में, अभिसरण कभी-कभी न केवल कोणीय के रूप में, बल्कि रैखिक मान के रूप में भी दिया जाता है। यह उसी से संबंधित है. पहियों के टो-इन को रिम्स के फ्लैंग्स के बीच की दूरी के अंतर से भी आंका जाता है, जो धुरी के पीछे और सामने उनके केंद्रों के स्तर पर मापा जाता है।

सच्चाई जो भी हो, शायद पुरातत्वविद्, उदाहरण के लिए, प्राचीन बिल्डरों के कौशल को पहचानेंगे। फ्लिंडर्स पेट्री ने निष्कर्ष निकाला कि माप में त्रुटियां इतनी छोटी थीं कि उन्होंने अपनी उंगली दबा ली। गलियारों को जोड़ने वाली दीवारें, पिरामिड के केंद्र में 107 मीटर तक गिरती हैं, आदर्श सटीकता से केवल 0.5 सेमी का विचलन दिखाती हैं। हम फिरौन के पिरामिड के रहस्य को वास्तुकारों और बिल्डरों की पांडित्य या अज्ञात मिस्र के जादू या लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए आयामों को यथासंभव करीब रखने की सरल आवश्यकता से समझा सकते हैं। अधिकतम लाभपिरामिड?

गंभीर तकनीकी साहित्य सहित विभिन्न स्रोत, अक्सर यह संस्करण देते हैं कि ऊँट के दुष्प्रभावों की भरपाई के लिए पहिया संरेखण आवश्यक है। वे कहते हैं कि संपर्क पैच में टायर के विरूपण के कारण, "ढह गए" पहिये को शंकु के आधार के रूप में कल्पना की जा सकती है। यदि पहियों को सकारात्मक ऊँट कोण के साथ स्थापित किया गया है (यह अभी तक महत्वपूर्ण क्यों नहीं है), तो वे अंदर "लुढ़क" जाते हैं अलग-अलग पक्ष. इसका प्रतिकार करने के लिए, पहियों के घूमने के तलों को एक साथ लाया जाता है (चित्र 20)

क्या यह महज़ संयोग है कि यह संख्या सूर्य से दूरी को व्यक्त करती है, जो लाखों मील में बताई जाती है? मिस्र का एक हाथ पृथ्वी की ठीक एक दस मिलीमीटर त्रिज्या के बराबर है। ग्रेट पिरामिड पृथ्वी की परिधि और त्रिज्या के बीच 2p संबंध को व्यक्त करता है। वृत्त एक वृत्त का वर्गाकार क्षेत्रफल 023 फीट है।

वह नाज़का, महान पिरामिड और मिस्र के चित्रलिपि ग्रंथों के आंकड़ों के बीच समानता पर भी चर्चा करता है। बाउल्स का कहना है कि जब उत्तरी ध्रुव दक्षिण-पूर्व अलास्का में स्थित होगा तो ग्रेट पिरामिड और नाज़्का पठार भूमध्य रेखा पर होंगे। निर्देशांक और गोलाकार त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए, पुस्तक तीन प्राचीन स्थलों के बीच उल्लेखनीय संबंधों को प्रदर्शित करती है।

संस्करण, यह कहा जाना चाहिए, अनुग्रह के बिना नहीं है, लेकिन आलोचना के लिए खड़ा नहीं है। यदि केवल इसलिए कि यह ऊँट और पैर के अंगूठे के बीच एक स्पष्ट संबंध मानता है। प्रस्तावित तर्क का पालन करते हुए, नकारात्मक ऊँट कोण वाले पहियों को आवश्यक रूप से विचलन के साथ स्थापित किया जाना चाहिए, और यदि ऊँट कोण शून्य है, तो कोई टो-इन नहीं होना चाहिए। हकीकत में ऐसा बिल्कुल नहीं है.

बेशक, यह संबंध ग्रेट पिरामिड, नाज़्का प्लेट और "प्राचीन वंश" धुरी के बीच भी मौजूद है, भले ही उत्तरी ध्रुव कहाँ स्थित हो। इस संबंध का उपयोग तीन बिंदुओं और एक तल के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। शाही कक्ष में पूर्वी दीवार से विकर्ण 309 है, कक्ष से दूरी 412 है, मध्य विकर्ण 515 है।

ओलान्टायटम्बो, महान पिरामिड और प्राचीन रेखा पर अक्ष बिंदु के बीच की दूरियाँ समान ज्यामितीय संबंध व्यक्त करती हैं। 3-4 ओलान्टायटम्बो से ग्रेट पिरामिड की दूरी पृथ्वी की परिधि का ठीक 30% है। ग्रेट पिरामिड से माचू पिचू और अलास्का में एक्सिस प्वाइंट की दूरी पृथ्वी की परिधि का 25% है। इस समद्विबाहु त्रिभुज को ऊंचाई में खींचने पर हमें दो समकोण त्रिभुज प्राप्त होते हैं जिनकी भुजाएँ 15% से 20% - 25% तक होती हैं।

वास्तविकता, हमेशा की तरह, अधिक जटिल और अस्पष्ट कानूनों के अधीन है। जब एक झुका हुआ पहिया घूमता है, तो एक पार्श्व बल वास्तव में संपर्क पैच में मौजूद होता है, जिसे अक्सर कैमर थ्रस्ट कहा जाता है। यह अनुप्रस्थ दिशा में टायर के लोचदार विरूपण के परिणामस्वरूप होता है और झुकाव की दिशा में कार्य करता है। पहिये के झुकाव का कोण जितना अधिक होगा, ऊँट का जोर उतना ही अधिक होगा। दोपहिया वाहनों - मोटरसाइकिलों और साइकिलों - के चालक कॉर्नरिंग करते समय इसका उपयोग करते हैं। उन्हें केवल अपने घोड़े को झुकाने की ज़रूरत है ताकि उसे एक घुमावदार प्रक्षेप पथ "निर्धारित" करने के लिए मजबूर किया जा सके, जिसे केवल स्टीयरिंग द्वारा ही ठीक किया जा सकता है। कारों को संचालित करते समय कैम्बर थ्रस्ट भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। इसलिए इसकी संभावना नहीं है कि जानबूझकर इसकी भरपाई टो-इन से की जाए। और संदेश स्वयं यह है कि सकारात्मक ऊँट कोण के कारण, पहिये बाहर की ओर मुड़ते हैं, अर्थात। विचलन की ओर, ग़लत। इसके विपरीत, ज्यादातर मामलों में स्टीयरिंग व्हील सस्पेंशन का डिज़ाइन ऐसा होता है कि सकारात्मक कैमर के साथ इसका जोर टो-इन में बढ़ जाता है। तो "ऊँट के दुष्प्रभावों के लिए मुआवजे" का इससे कोई लेना-देना नहीं है। ऐसे कई ज्ञात कारक हैं जो पहिया संरेखण की आवश्यकता को निर्धारित करते हैं। पहला यह है कि पहले से सेट टो-इन पर काम करने वाले अनुदैर्ध्य बलों के प्रभाव की भरपाई करता है जब कार चल रही हो तो पहिया। प्रभाव की प्रकृति और गहराई (और इसलिए परिणाम) कई परिस्थितियों पर निर्भर करती है: ड्राइव व्हील या तो फ्री-रोलिंग है, नियंत्रित है या नहीं, और अंत में, निलंबन की गतिकी और लोच पर। इस प्रकार, एक रोलिंग प्रतिरोध बल अनुदैर्ध्य दिशा में स्वतंत्र रूप से घूमने वाले कार के पहिये पर कार्य करता है। यह एक झुकने वाला क्षण बनाता है जो विचलन की दिशा में निलंबन बढ़ते बिंदुओं के सापेक्ष पहिया को घुमाता है। यदि निलंबन कार कठिन(उदाहरण के लिए, काटा नहीं गया या मरोड़ किरण), तो प्रभाव बहुत महत्वपूर्ण नहीं होगा. फिर भी, यह निश्चित रूप से होगा, क्योंकि "पूर्ण कठोरता" एक विशुद्ध सैद्धांतिक शब्द और घटना है। इसके अलावा, पहिया की गति न केवल निलंबन तत्वों के लोचदार विरूपण से निर्धारित होती है, बल्कि उनके कनेक्शन, पहिया बीयरिंग आदि में संरचनात्मक अंतराल के मुआवजे से भी निर्धारित होती है।
उच्च अनुपालन वाले निलंबन के मामले में (जो विशिष्ट है, उदाहरण के लिए, लोचदार झाड़ियों के साथ लीवर संरचनाओं के लिए), परिणाम कई गुना बढ़ जाएगा। यदि पहिया न केवल फ्री-रोलिंग है, बल्कि चलाने योग्य भी है, तो स्थिति अधिक जटिल हो जाती है। पहिये पर स्वतंत्रता की एक अतिरिक्त डिग्री की उपस्थिति के कारण, समान प्रतिरोध बल का दोहरा प्रभाव पड़ता है। वह क्षण जो सामने के सस्पेंशन को मोड़ता है, उस क्षण से पूरित होता है जो पहिया को घूमने वाली धुरी के चारों ओर घुमाता है। मोड़ का क्षण, जिसका परिमाण स्टीयरिंग अक्ष के स्थान पर निर्भर करता है, स्टीयरिंग तंत्र के हिस्सों को प्रभावित करता है और, उनके अनुपालन के कारण, गति में पहिया पैर की अंगुली में बदलाव में भी महत्वपूर्ण योगदान देता है। चलने वाली भुजा के आधार पर, मोड़ के क्षण का योगदान "प्लस" या "माइनस" चिह्न के साथ हो सकता है। अर्थात्, यह या तो पहिया विचलन को बढ़ा सकता है या उसका प्रतिकार कर सकता है। यदि आप यह सब ध्यान में नहीं रखते हैं और शुरू में शून्य पैर की अंगुली वाले पहिये स्थापित करते हैं, तो चलते समय वे एक अलग स्थिति ले लेंगे। इससे पैर की अंगुली समायोजन के उल्लंघन के मामलों की विशेषता वाले परिणाम सामने आएंगे: बढ़ी हुई खपतईंधन, सॉटूथ ट्रेड घिसाव और हैंडलिंग समस्याएं, जिन पर नीचे चर्चा की जाएगी।
गति के प्रतिरोध का बल कार की गति पर निर्भर करता है। इसलिए, आदर्श समाधान परिवर्तनीय पैर की अंगुली होगी, जो किसी भी गति पर समान आदर्श पहिया स्थिति प्रदान करेगी। चूँकि ऐसा करना कठिन है, इसलिए पहिये को पहले से समायोजित किया जाता है ताकि क्रूज़िंग गति पर न्यूनतम टायर घिसाव हो सके। ड्राइव एक्सल पर स्थित पहिया अधिकांश समय कर्षण बल के संपर्क में रहता है। यह आंदोलन के प्रतिरोध की ताकतों से अधिक है, इसलिए परिणामी ताकतों को आंदोलन की दिशा में निर्देशित किया जाएगा। उसी तर्क को लागू करते हुए, हम पाते हैं कि इस मामले में स्थिर पहियों को एक विसंगति के साथ स्थापित करने की आवश्यकता है। स्टीयरिंग ड्राइव पहियों के संबंध में एक समान निष्कर्ष निकाला जा सकता है।
सत्य की सर्वोत्तम कसौटी अभ्यास है। यदि, इसे ध्यान में रखते हुए, आप आधुनिक कारों के समायोजन डेटा को देखेंगे, तो आप इसे न पाकर निराश हो सकते हैं बड़ा अंतररियर- और फ्रंट-व्हील ड्राइव मॉडल के स्टीयरिंग व्हील के टो-इन में। ज्यादातर मामलों में, उन दोनों के लिए यह पैरामीटर सकारात्मक होगा। जब तक बीच में न हो फ्रंट व्हील ड्राइव कारें"तटस्थ" पैर की अंगुली समायोजन के मामले अधिक आम हैं। कारण यह नहीं कि उपरोक्त तर्क सही नहीं है। यह सिर्फ इतना है कि टो-इन की मात्रा चुनते समय, अनुदैर्ध्य बलों के मुआवजे के साथ, अन्य विचारों को ध्यान में रखा जाता है जो अंतिम परिणाम में समायोजन करते हैं। सबसे महत्वपूर्ण में से एक इष्टतम वाहन संचालन सुनिश्चित करना है। वाहनों की बढ़ती गति और गतिशीलता के साथ, यह कारक तेजी से महत्वपूर्ण होता जा रहा है।
हैंडलिंग एक बहुआयामी अवधारणा है, इसलिए यह स्पष्ट करने योग्य है कि व्हील टो कार के सीधे प्रक्षेपवक्र के स्थिरीकरण और मोड़ में प्रवेश करते समय उसके व्यवहार को सबसे महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है। स्टीयरिंग पहियों के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रभाव को स्पष्ट रूप से चित्रित किया जा सकता है।

मान लीजिए, एक सीधी रेखा में चलते समय, उनमें से एक को सड़क की असमानता से आकस्मिक व्यवधान का सामना करना पड़ता है। बढ़ा हुआ प्रतिरोध बल पहिये को घटती हुई अंगुली की दिशा में घुमाता है। स्टीयरिंग तंत्र के माध्यम से, प्रभाव दूसरे पहिये तक प्रेषित होता है, जिसके विपरीत, पैर का अंगूठा बढ़ जाता है। यदि पहियों में शुरू में सकारात्मक टो-इन होता है, तो पहले वाले पर खींचने वाला बल कम हो जाता है, और दूसरे पर यह बढ़ जाता है, जो गड़बड़ी का प्रतिकार करता है। जब अभिसरण शून्य होता है, तो कोई प्रतिकूल प्रभाव नहीं होता है, और जब यह नकारात्मक होता है, तो एक अस्थिर क्षण प्रकट होता है, जो अशांति के विकास में योगदान देता है। इस तरह के समायोजन वाली कार सड़क पर घूमती रहेगी और उसे लगातार स्टीयरिंग से पकड़ना होगा, जो एक साधारण सड़क कार के लिए अस्वीकार्य है।
इस "सिक्के" का एक उल्टा, सकारात्मक पक्ष भी है - नकारात्मक टो-इन आपको स्टीयरिंग से सबसे तेज़ प्रतिक्रिया प्राप्त करने की अनुमति देता है। चालक की थोड़ी सी भी कार्रवाई तुरंत प्रक्षेपवक्र में तेज बदलाव लाती है - कार स्वेच्छा से युद्धाभ्यास करती है, आसानी से मुड़ने के लिए "सहमत" होती है। इस प्रकार के पैर के अंगूठे का समायोजन अक्सर मोटरस्पोर्ट्स में किया जाता है।

जो लोग डब्लूआरसी चैंपियनशिप के बारे में टीवी शो देखते हैं, उन्होंने शायद देखा है कि लोएब या ग्रोनहोम को ट्रैक के अपेक्षाकृत सीधे हिस्सों पर भी, कितनी सक्रियता से पहिया पर काम करना पड़ता है। रियर एक्सल पहियों के टो-इन का कार के व्यवहार पर समान प्रभाव पड़ता है - टो-इन को थोड़ा सा विचलन तक कम करने से एक्सल की "गतिशीलता" बढ़ जाती है। इस प्रभाव का उपयोग अक्सर कारों के अंडरस्टीयर की भरपाई के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, ओवरलोडेड फ्रंट एक्सल वाले फ्रंट-व्हील ड्राइव मॉडल।
इस प्रकार, स्थिर टो-इन पैरामीटर, जो समायोजन डेटा में दिए गए हैं, ईंधन और टायरों को बचाने और कार के लिए इष्टतम हैंडलिंग विशेषताओं को प्राप्त करने की इच्छा के बीच एक प्रकार की सुपरपोजिशन और कभी-कभी एक समझौता का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसके अलावा, यह ध्यान देने योग्य है कि में पिछले साल काबाद वाला प्रबल होता है.

कैम्बर एक पैरामीटर है जो पहिए के सापेक्ष उन्मुखीकरण के लिए जिम्मेदार है सड़क की सतह. हमें याद है कि आदर्श रूप से उन्हें एक-दूसरे के लंबवत होना चाहिए, यानी। कोई पतन नहीं होना चाहिए. हालाँकि, बहुमत सड़क कारेंवह है। चाल क्या है?

संदर्भ।
कैम्बर ऊर्ध्वाधर के सापेक्ष पहिया के उन्मुखीकरण को दर्शाता है और इसे ऊर्ध्वाधर और पहिया के घूर्णन के तल के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि पहिया वास्तव में "टूटा हुआ" है, यानी। इसका शीर्ष बाहर की ओर झुका हुआ है, ऊँट सकारात्मक माना जाता है। यदि पहिया शरीर की ओर झुका हुआ है, तो ऊँट नकारात्मक है।

कुछ समय पहले तक, पहियों के टूटने की प्रवृत्ति थी, यानी। ऊँट कोणों को सकारात्मक मान दें। बहुत से लोग शायद ऑटोमोबाइल सिद्धांत पर पाठ्यपुस्तकों को याद करते हैं, जिसमें बाहरी और आंतरिक के बीच भार को पुनर्वितरित करने की इच्छा से ऊँचे पहियों की स्थापना को समझाया गया था पहिया बियरिंग. जैसे, सकारात्मक ऊँट कोण के साथ, इसका अधिकांश भाग गिरता है आंतरिक असर, जिसे अधिक विशाल और टिकाऊ बनाना आसान है। परिणामस्वरूप, बेयरिंग असेंबली के स्थायित्व को लाभ होता है। थीसिस बहुत विश्वसनीय नहीं है, यदि केवल इसलिए कि यदि यह सच है, तो यह केवल एक आदर्श स्थिति के लिए है - बिल्कुल सपाट सड़क पर कार की सीधी-रेखा में आवाजाही। यह ज्ञात है कि पैंतरेबाजी और अनियमितताओं पर गाड़ी चलाते समय, यहां तक ​​​​कि सबसे महत्वहीन, असर विधानसभा का अनुभव भी होता है गतिशील भार, जो स्थैतिक बलों से अधिक परिमाण का एक क्रम है। और उन्हें ठीक उसी तरह वितरित नहीं किया जाता जैसा कि सकारात्मक ऊँट "आदेश" देता है।

कभी-कभी वे रनिंग-इन शोल्डर को कम करने के उद्देश्य से सकारात्मक कैमर को एक अतिरिक्त उपाय के रूप में व्याख्या करने का प्रयास करते हैं। ये हमें कब पता चलेगा? महत्वपूर्ण पैरामीटरस्टीयरिंग पहियों के निलंबन से यह स्पष्ट हो जाएगा कि प्रभाव का यह तरीका सबसे सफल से बहुत दूर है। यह ट्रैक की चौड़ाई और पहिया स्टीयरिंग अक्ष के झुकाव के सम्मिलित कोण में एक साथ परिवर्तन से जुड़ा है, जो अवांछनीय परिणामों से भरा है। ब्रेक-इन शोल्डर को बदलने के लिए अधिक प्रत्यक्ष और कम दर्दनाक विकल्प हैं। इसके अलावा, इसका न्यूनतमकरण हमेशा निलंबन डेवलपर्स का लक्ष्य नहीं होता है।

एक अधिक ठोस संस्करण यह है कि सकारात्मक ऊँट पहिया विस्थापन के लिए क्षतिपूर्ति करता है जो तब होता है जब एक्सल लोड बढ़ता है (वाहन भार में वृद्धि या त्वरण और ब्रेकिंग के दौरान इसके द्रव्यमान के गतिशील पुनर्वितरण के परिणामस्वरूप)। अधिकांश प्रकार के आधुनिक सस्पेंशनों के इलास्टो-कीनेमेटिक गुण ऐसे होते हैं कि जैसे-जैसे पहिये पर भार बढ़ता है, ऊँट का कोण कम होता जाता है। सड़क के साथ पहियों का अधिकतम कर्षण सुनिश्चित करने के लिए, पहले उन्हें थोड़ा "अलग करना" तर्कसंगत है। इसके अलावा, मध्यम मात्रा में, कैमर रोलिंग प्रतिरोध और टायर घिसाव को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करता है।

कार की अच्छी स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए, स्थिर परिस्थितियों में ऊँट के कोण को नकारात्मक बनाना पर्याप्त नहीं है। सस्पेंशन डिजाइनरों को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि पहिये सभी ड्राइविंग मोड में इष्टतम (या उसके करीब) अभिविन्यास बनाए रखें। ऐसा करना आसान नहीं है, क्योंकि युद्धाभ्यास के दौरान शरीर की स्थिति में कोई भी बदलाव, निलंबन तत्वों (गोता, साइड रोल, आदि) के विस्थापन के साथ, पहियों के ऊँट में एक महत्वपूर्ण परिवर्तन होता है। अजीब बात है कि, इस समस्या को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है स्पोर्ट कारउनके "गियर-क्रशिंग" सस्पेंशन के साथ, उच्च कोणीय कठोरता और छोटे स्ट्रोक की विशेषता। यहां, ऊँट (और पैर की अंगुली) के स्थिर मान गतिशीलता में दिखने के तरीके से कम से कम भिन्न होते हैं।

ऊँट कोणों में परिवर्तन को कम करने और इन परिवर्तनों को वांछित "प्रवृत्ति" देने के समाधान मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, यह वांछनीय है कि मुड़ते समय, सबसे अधिक भरा हुआ बाहरी पहिया उसी इष्टतम स्थिति में रहे - एक मामूली नकारात्मक ऊँट के साथ। ऐसा करने के लिए, जब शरीर लुढ़कता है, तो पहिया को उस पर और भी अधिक "गिरना" चाहिए, जो निलंबन गाइड तत्वों की ज्यामिति को अनुकूलित करके प्राप्त किया जाता है। इसके अलावा, वे एंटी-रोल बार का उपयोग करके बॉडी रोल को कम करने का प्रयास करते हैं।
निष्पक्षता के लिए, यह कहा जाना चाहिए कि निलंबन की लोच हमेशा स्थिरता और हैंडलिंग की दुश्मन नहीं होती है। में " अच्छे हाथ“इसके विपरीत, लोच उन्हें बढ़ावा देता है। उदाहरण के लिए, रियर एक्सल पहियों के "सेल्फ-स्टीयरिंग" प्रभाव के कुशल उपयोग के साथ। बातचीत के विषय पर लौटते हुए, हम संक्षेप में बता सकते हैं कि ऊँट कोण जिसके लिए विशिष्टताओं में संकेत दिया गया है यात्री कारें, वे बदले में जो होंगे उससे काफी भिन्न होंगे।

जिस ऊँट और पैर की अंगुली पर हमने विचार किया वह ऐसे पैरामीटर हैं जो कार के सभी चार पहियों के लिए निर्धारित किए जाते हैं। आगे, हम कोणीय विशेषताओं के बारे में बात करेंगे जो केवल स्टीयर किए गए पहियों से संबंधित हैं और उनके घूर्णन अक्ष के स्थानिक अभिविन्यास को निर्धारित करते हैं।

इससे घूर्णन अक्ष की स्थिति ज्ञात होती है स्टीयरिंग व्हीलकार दो कोणों से निर्धारित होती है: अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ। घूर्णन अक्ष को सख्ती से ऊर्ध्वाधर क्यों नहीं बनाया जाता? ऊँट और संरेखण वाले मामलों के विपरीत, इस प्रश्न का उत्तर अधिक स्पष्ट है। यहां लगभग एकमत सहमति है, कम से कम झुकाव के अनुदैर्ध्य कोण - ढलाईकार के संबंध में।