सामान्य कोसाइन समाधान. सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

त्रिकोणमितीय समीकरण- विषय सबसे सरल नहीं है. वे बहुत विविध हैं।) उदाहरण के लिए, ये:

पाप 2 x + cos3x = ctg5x

पाप(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

synx + cos2x + tg3x = ctg4x

वगैरह...

लेकिन इन (और अन्य सभी) त्रिकोणमितीय राक्षसों में दो सामान्य और अनिवार्य विशेषताएं हैं। पहला - आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे - समीकरणों में त्रिकोणमितीय फलन हैं।) दूसरा: x के साथ सभी अभिव्यक्तियाँ पाई जाती हैं इन्हीं कार्यों के अंतर्गत.और केवल वहाँ! यदि X कहीं दिखाई देता है बाहर,उदाहरण के लिए, पाप2x + 3x = 3,यह पहले से ही एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों के लिए व्यक्तिगत दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हम यहां उन पर विचार नहीं करेंगे.

हम इस पाठ में बुरे समीकरणों को भी हल नहीं करेंगे।) यहां हम निपटेंगे सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण.क्यों? हाँ क्योंकि समाधान कोईत्रिकोणमितीय समीकरण में दो चरण होते हैं। पहले चरण में, विभिन्न परिवर्तनों के माध्यम से दुष्ट समीकरण को सरल बना दिया जाता है। दूसरे पर, यह सरलतम समीकरण हल हो गया है। कोई दूसरा रास्ता नहीं।

इसलिए, यदि आपको दूसरे चरण में समस्या है, तो पहले चरण का कोई खास मतलब नहीं है।)

प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे दिखते हैं?

सिनएक्स = ए

कॉसक्स = ए

टीजीएक्स = ए

सीटीजीएक्स = ए

यहाँ ए किसी भी संख्या को दर्शाता है. कोई भी।

वैसे, किसी फ़ंक्शन के अंदर शुद्ध X नहीं, बल्कि किसी प्रकार की अभिव्यक्ति हो सकती है, जैसे:

cos(3x+π /3) = 1/2

वगैरह। यह जीवन को जटिल बनाता है, लेकिन त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की विधि को प्रभावित नहीं करता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें?

त्रिकोणमितीय समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है। पहला तरीका: तर्क और त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करना। हम यहां इस रास्ते को देखेंगे. दूसरे तरीके - स्मृति और सूत्रों का उपयोग - पर अगले पाठ में चर्चा की जाएगी।

पहला तरीका स्पष्ट, विश्वसनीय और भूलना मुश्किल है।) यह त्रिकोणमितीय समीकरणों, असमानताओं और सभी प्रकार के पेचीदा गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए अच्छा है। तर्क स्मृति से अधिक मजबूत है!)

त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

हम प्राथमिक तर्क और त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करने की क्षमता शामिल करते हैं। पता नहीं कैसे? हालाँकि... आपको त्रिकोणमिति में कठिन समय लगेगा...) लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। "त्रिकोणमितीय वृत्त...... यह क्या है?" पाठ पर एक नज़र डालें। और "त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोण मापना।" वहां सब कुछ सरल है. पाठ्यपुस्तकों के विपरीत...)

ओह आप जानते हैं!? और यहां तक ​​कि "त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ व्यावहारिक कार्य" में भी महारत हासिल है!? बधाई हो। यह विषय आपके करीब और समझने योग्य होगा।) विशेष रूप से प्रसन्न करने वाली बात यह है कि त्रिकोणमितीय वृत्त को इस बात की परवाह नहीं है कि आप कौन सा समीकरण हल करते हैं। ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट - उसके लिए सब कुछ समान है। समाधान का एक ही सिद्धांत है.

तो हम कोई प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण लेते हैं। कम से कम यह:

cosx = 0.5

हमें एक्स ढूंढना होगा. मानवीय भाषा में बोलना, आपको चाहिए वह कोण (x) ज्ञात कीजिए जिसकी कोज्या 0.5 है।

हमने पहले वृत्त का उपयोग कैसे किया था? हमने इस पर एक कोण बनाया. डिग्री या रेडियन में. और तुरंत देखा इस कोण के त्रिकोणमितीय फलन. अब चलो इसके विपरीत करें। आइए वृत्त पर 0.5 के बराबर और तुरंत एक कोज्या बनाएं हम देखेंगे कोना। जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।) हाँ, हाँ!

एक वृत्त बनाएं और कोसाइन को 0.5 के बराबर चिह्नित करें। निश्चित रूप से, कोसाइन अक्ष पर। इस कदर:

अब आइए वह कोण बनाएं जो यह कोसाइन हमें देता है। अपने माउस को चित्र पर घुमाएँ (या अपने टेबलेट पर चित्र को स्पर्श करें), और आप देखेंगेयही कोना एक्स।

किस कोण की कोज्या 0.5 है?

एक्स = π /3

ओल 60°= क्योंकि( π /3) = 0,5

कुछ लोग संदेहपूर्वक हँसेंगे, हाँ... जैसे, क्या यह एक घेरा बनाने के लायक था जब सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है... आप निश्चित रूप से हँस सकते हैं...) लेकिन तथ्य यह है कि यह एक गलत उत्तर है। या यों कहें, अपर्याप्त. वृत्त के जानकार समझते हैं कि यहां अन्य कोणों का एक पूरा समूह है जो 0.5 की कोज्या भी देते हैं।

यदि आप गतिमान पक्ष OA को मोड़ते हैं पूर्ण मोड़, बिंदु A अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा। 0.5 के बराबर समान कोज्या के साथ। वे। कोण बदल जायेगा 360° या 2π रेडियन द्वारा, और कोसाइन - नहीं.नया कोण 60° + 360° = 420° भी हमारे समीकरण का एक समाधान होगा, क्योंकि

ऐसी अनंत संख्या में पूर्ण क्रांतियाँ की जा सकती हैं... और ये सभी नए कोण हमारे त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान होंगे। और उन सभी को प्रतिक्रिया में किसी न किसी तरह से लिखने की आवश्यकता है। सभी।अन्यथा, निर्णय मायने नहीं रखता, हाँ...)

गणित यह काम सरलता और सुंदरता से कर सकता है। एक संक्षिप्त उत्तर में लिखिए अनंत सेटनिर्णय. यह हमारे समीकरण के लिए कैसा दिखता है:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

मैं इसे समझ लूंगा. फिर भी लिखो सार्थकयह मूर्खतापूर्ण तरीके से कुछ रहस्यमय अक्षर खींचने से कहीं अधिक सुखद है, है ना?)

π /3 - यह वही कोना है जहां हम हैं देखावृत्त पर और दृढ़ निश्चय वालाकोसाइन तालिका के अनुसार.

2π रेडियन में एक पूर्ण क्रांति है।

एन - यह पूर्ण लोगों की संख्या है, अर्थात। साबुतआरपीएम यह स्पष्ट है कि एन 0, ±1, ±2, ±3.... इत्यादि के बराबर हो सकता है। जैसा कि संक्षिप्त प्रविष्टि से संकेत मिलता है:

एन ∈ जेड

एन संबंधित ( ∈ ) पूर्णांकों का समुच्चय ( जेड ). वैसे, पत्र के बजाय एन अक्षरों का अच्छी तरह से उपयोग किया जा सकता है के, एम, टी वगैरह।

इस अंकन का अर्थ है कि आप कोई भी पूर्णांक ले सकते हैं एन . कम से कम -3, कम से कम 0, कम से कम +55। जो तुम्हे चाहिये। यदि आप इस संख्या को उत्तर में प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको एक विशिष्ट कोण मिलेगा, जो निश्चित रूप से हमारे कठोर समीकरण का समाधान होगा।)

या, दूसरे शब्दों में, एक्स = π /3 अनंत समुच्चय का एकमात्र मूल है। अन्य सभी जड़ें प्राप्त करने के लिए, π /3 में पूर्ण क्रांतियों की किसी भी संख्या को जोड़ना पर्याप्त है ( एन ) रेडियन में। वे। 2πn रेडियन.

सभी? नहीं। मैं जानबूझकर आनंद को लम्बा खींचता हूँ। बेहतर ढंग से याद रखने के लिए।) हमें अपने समीकरण के उत्तरों का केवल एक भाग प्राप्त हुआ। मैं समाधान का पहला भाग इस प्रकार लिखूंगा:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

एक्स 1 - केवल एक जड़ नहीं, बल्कि जड़ों की एक पूरी शृंखला, जिसे संक्षिप्त रूप में लिखा गया है।

लेकिन ऐसे कोण भी हैं जो 0.5 की कोज्या भी देते हैं!

आइए अपनी उस तस्वीर पर लौटते हैं जिससे हमने उत्तर लिखा था। ये रही वो:

अपने माउस को छवि पर घुमाएँ और हम देखते हैंदूसरा कोण वह 0.5 की कोज्या भी देता है।आपको क्या लगता है यह किसके बराबर है? त्रिभुज वही हैं... हाँ! यह कोण के बराबर है एक्स , केवल नकारात्मक दिशा में विलंब हुआ। यह कोना है -एक्स। लेकिन हम पहले ही x की गणना कर चुके हैं। π /3 या 60°. इसलिए, हम सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

एक्स 2 = - π /3

खैर, निःसंदेह, हम उन सभी कोणों को जोड़ते हैं जो पूर्ण क्रांतियों के माध्यम से प्राप्त होते हैं:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

अब बस इतना ही।) त्रिकोणमितीय वृत्त पर हम देखा(बेशक, जो समझता है)) सभीकोण जो 0.5 की कोज्या देते हैं। और हमने इन कोणों को संक्षिप्त गणितीय रूप में लिखा। उत्तर के परिणामस्वरूप जड़ों की दो अनंत श्रृंखलाएँ प्राप्त हुईं:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

यह सही जवाब है।

आशा, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का सामान्य सिद्धांतएक वृत्त का उपयोग करना स्पष्ट है। हम एक वृत्त पर दिए गए समीकरण से कोज्या (ज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेंट) अंकित करते हैं, उसके अनुरूप कोण बनाते हैं और उत्तर लिखते हैं।निःसंदेह, हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि हम कौन से कोने में हैं देखावृत्त पर. कभी-कभी यह इतना स्पष्ट नहीं होता. खैर, मैंने कहा कि यहां तर्क की आवश्यकता है।)

उदाहरण के लिए, आइए एक अन्य त्रिकोणमितीय समीकरण देखें:

कृपया ध्यान रखें कि संख्या 0.5 समीकरणों में एकमात्र संभावित संख्या नहीं है!) मेरे लिए इसे जड़ों और भिन्नों की तुलना में लिखना अधिक सुविधाजनक है।

हम सामान्य सिद्धांत के अनुसार काम करते हैं। हम एक वृत्त खींचते हैं, निशान लगाते हैं (साइन अक्ष पर, निश्चित रूप से!) 0.5। हम इस ज्या के संगत सभी कोण एक साथ बनाते हैं। हमें यह चित्र मिलता है:

आइए पहले कोण से निपटें एक्स पहली तिमाही में. हम ज्या की तालिका को याद करते हैं और इस कोण का मान निर्धारित करते हैं। यह एक साधारण बात है:

एक्स = π /6

हम पूर्ण मोड़ों को याद करते हैं और स्पष्ट विवेक के साथ उत्तरों की पहली श्रृंखला लिखते हैं:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

आधा काम हो चुका है. लेकिन अब हमें तय करने की जरूरत है दूसरा कोना...यह कोसाइन का उपयोग करने से अधिक पेचीदा है, हाँ... लेकिन तर्क हमें बचाएगा! दूसरा कोण कैसे निर्धारित करें एक्स के माध्यम से? हाँ आसान! चित्र में त्रिकोण समान हैं, और लाल कोना है एक्स कोण के बराबर एक्स . इसे केवल कोण π से ऋणात्मक दिशा में गिना जाता है। इसीलिए यह लाल है।) और उत्तर के लिए हमें सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX से सही ढंग से मापा गया एक कोण चाहिए, यानी। 0 डिग्री के कोण से.

हम ड्राइंग पर कर्सर घुमाते हैं और सब कुछ देखते हैं। मैंने पहला कोना हटा दिया ताकि चित्र जटिल न हो। जिस कोण में हमारी रुचि है (हरे रंग में खींचा गया) वह इसके बराबर होगा:

π - एक्स

एक्स हम यह जानते हैं π /6 . इसलिए, दूसरा कोण होगा:

π - π /6 = 5π /6

फिर से हम पूर्ण क्रांतियों को जोड़ने के बारे में याद करते हैं और उत्तरों की दूसरी श्रृंखला लिखते हैं:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

बस इतना ही। एक पूर्ण उत्तर में जड़ों की दो श्रृंखलाएँ होती हैं:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए समान सामान्य सिद्धांत का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट समीकरणों को आसानी से हल किया जा सकता है। यदि, निश्चित रूप से, आप जानते हैं कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कैसे खींचना है।

उपरोक्त उदाहरणों में, मैंने साइन और कोसाइन के तालिका मान का उपयोग किया: 0.5। वे। उन अर्थों में से एक जो विद्यार्थी जानता है अवश्य।आइए अब अपनी क्षमताओं का विस्तार करें अन्य सभी मूल्य.तय करो, तो फैसला करो!)

तो, मान लीजिए कि हमें इस त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

छोटी तालिकाओं में ऐसा कोई कोसाइन मान नहीं है। हम इस भयानक तथ्य को बेरुखी से नजरअंदाज कर देते हैं। एक वृत्त बनाएं, कोज्या अक्ष पर 2/3 अंकित करें और संगत कोण बनाएं। हमें यह चित्र मिलता है.

आइए, सबसे पहले, पहली तिमाही के कोण पर नजर डालें। यदि हमें पता होता कि x किसके बराबर है, तो हम तुरंत उत्तर लिख देते! हम नहीं जानते... विफलता!? शांत! गणित अपने ही लोगों को मुसीबत में नहीं छोड़ता! वह इस मामले के लिए आर्क कोसाइन लेकर आई। नहीं जानतीं? व्यर्थ। पता लगाएँ, यह जितना आप सोचते हैं उससे कहीं ज़्यादा आसान है। इस लिंक पर "व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन" के बारे में एक भी पेचीदा मंत्र नहीं है... यह इस विषय में अनावश्यक है।

यदि आप जानते हैं, तो बस अपने आप से कहें: "X एक कोण है जिसकी कोज्या 2/3 के बराबर है।" और तुरंत, विशुद्ध रूप से आर्क कोसाइन की परिभाषा से, हम लिख सकते हैं:

हम अतिरिक्त क्रांतियों के बारे में याद करते हैं और शांति से अपने त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों की पहली श्रृंखला लिखते हैं:

x 1 = आर्ककोस 2/3 + 2π एन, एन ∈ जेड

दूसरे कोण के लिए जड़ों की दूसरी श्रृंखला लगभग स्वचालित रूप से लिखी जाती है। सब कुछ वैसा ही है, केवल X (arccos 2/3) माइनस के साथ होगा:

x 2 = - आर्ककोस 2/3 + 2π एन, एन ∈ जेड

और बस! यह सही जवाब है। तालिका मानों से भी आसान। कुछ भी याद रखने की आवश्यकता नहीं है।) वैसे, सबसे चौकस व्यक्ति ध्यान देगा कि यह चित्र आर्क कोसाइन के माध्यम से समाधान दिखाता है संक्षेप में, समीकरण cosx = 0.5 के चित्र से अलग नहीं।

बिल्कुल! सामान्य सिद्धांतइसलिए यह आम बात है! मैंने जानबूझकर दो लगभग एक जैसी तस्वीरें खींचीं। वृत्त हमें कोण दिखाता है एक्स इसके कोसाइन द्वारा. यह सारणीबद्ध कोसाइन है या नहीं यह सभी के लिए अज्ञात है। यह किस प्रकार का कोण है, π /3, या चाप कोज्या क्या है - यह हमें तय करना है।

साइन के साथ एक ही गाना. उदाहरण के लिए:

फिर से एक वृत्त बनाएं, ज्या को 1/3 के बराबर चिह्नित करें, कोण बनाएं। यह वह चित्र है जो हमें मिलता है:

और फिर से तस्वीर लगभग समीकरण जैसी ही है सिनक्स = 0.5.फिर से हम पहले क्वार्टर में कोने से शुरुआत करते हैं। यदि X की ज्या 1/3 है तो X किसके बराबर है? कोई बात नहीं!

अब जड़ों का पहला पैक तैयार है:

x 1 = आर्कसिन 1/3 + 2π एन, एन ∈ जेड

आइए दूसरे कोण से निपटें। 0.5 के तालिका मान वाले उदाहरण में, यह इसके बराबर था:

π - एक्स

यहाँ भी बिल्कुल वैसा ही होगा! केवल x भिन्न है, आर्क्सिन 1/3। तो क्या हुआ!? आप जड़ों के दूसरे पैक को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

x 2 = π - आर्क्सिन 1/3 + 2π n, n ∈ Z

यह बिल्कुल सही उत्तर है. हालाँकि यह बहुत परिचित नहीं लगता. लेकिन यह स्पष्ट है, मुझे आशा है।)

इस प्रकार एक वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरण हल किए जाते हैं। यह रास्ता स्पष्ट और समझने योग्य है. यह वह है जो किसी दिए गए अंतराल पर जड़ों के चयन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों को बचाता है, त्रिकोणमितीय असमानताओं में - वे आम तौर पर लगभग हमेशा एक सर्कल में हल किए जाते हैं। संक्षेप में, किसी भी कार्य में जो मानक कार्यों की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन होता है।

आइए ज्ञान को व्यवहार में लागू करें?)

त्रिकोणमितीय समीकरण हल करें:

पहला, सरल, सीधे इस पाठ से।

अब यह और अधिक जटिल है.

संकेत: यहां आपको वृत्त के बारे में सोचना होगा। व्यक्तिगत रूप से।)

और अब वे बाह्य रूप से सरल हैं... उन्हें विशेष मामले भी कहा जाता है।

सिनक्स = 0

सिनक्स = 1

cosx = 0

cosx = -1

संकेत: यहां आपको एक वृत्त में यह पता लगाने की आवश्यकता है कि कहां उत्तरों की दो श्रृंखलाएं हैं और कहां एक है... और उत्तरों की दो श्रृंखलाओं के बजाय एक कैसे लिखा जाए। हाँ, ताकि अनंत संख्या में से एक भी मूल नष्ट न हो!)

खैर, बहुत सरल):

सिनक्स = 0,3

cosx = π

टीजीएक्स = 1,2

सीटीजीएक्स = 3,7

संकेत: यहां आपको यह जानना होगा कि आर्कसाइन और आर्ककोसाइन क्या हैं? आर्कटैन्जेंट, आर्ककोटेंजेंट क्या है? सबसे सरल परिभाषाएँ. लेकिन आपको किसी तालिका मान को याद रखने की आवश्यकता नहीं है!)

बेशक, उत्तर गड़बड़ हैं):

एक्स 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
एक्स 2= π - आर्कसिन0.3 + 2

सब कुछ काम नहीं करता? ह ाेती है। पाठ को दोबारा पढ़ें. केवल सोच समजकर(ऐसा ही एक पुराना शब्द है...) और लिंक का अनुसरण करें। मुख्य लिंक वृत्त के बारे में हैं। इसके बिना, त्रिकोणमिति आंखों पर पट्टी बांधकर सड़क पार करने जैसा है। कभी-कभी यह काम करता है।)

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सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना।

जटिलता के किसी भी स्तर के त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना अंततः सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए आता है। और इसमें त्रिकोणमितीय वृत्त फिर से सबसे अच्छा सहायक साबित होता है।

आइए कोसाइन और साइन की परिभाषाओं को याद करें।

किसी कोण की कोज्या किसी दिए गए कोण के माध्यम से घूमने के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु का भुज (अर्थात, अक्ष के साथ निर्देशांक) है।

किसी कोण की ज्या किसी दिए गए कोण के माध्यम से घूमने के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि (अर्थात, अक्ष के साथ निर्देशांक) है।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर गति की सकारात्मक दिशा वामावर्त होती है। 0 डिग्री (या 0 रेडियन) का घूर्णन निर्देशांक (1;0) वाले एक बिंदु से मेल खाता है

हम सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए इन परिभाषाओं का उपयोग करते हैं।

1. समीकरण हल करें

यह समीकरण घूर्णन कोण के सभी मानों से संतुष्ट होता है जो वृत्त पर उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनकी कोटि बराबर होती है।

आइए कोटि अक्ष पर कोटि से एक बिंदु चिह्नित करें:

x-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा खींचें जब तक कि वह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। हमें वृत्त पर स्थित और एक कोटि वाले दो बिंदु मिलते हैं। ये बिंदु घूर्णन कोण और रेडियन के अनुरूप हैं:

यदि हम, प्रति रेडियन घूर्णन कोण के संगत बिंदु को छोड़कर, एक पूर्ण वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, तो हम प्रति रेडियन घूर्णन कोण के अनुरूप और समान कोटि वाले एक बिंदु पर पहुंचेंगे। अर्थात यह घूर्णन कोण हमारे समीकरण को भी संतुष्ट करता है। हम जितने चाहें उतने "निष्क्रिय" चक्कर लगा सकते हैं, एक ही बिंदु पर लौट सकते हैं, और ये सभी कोण मान हमारे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। "निष्क्रिय" क्रांतियों की संख्या को अक्षर (या) द्वारा दर्शाया जाएगा। चूँकि हम इन क्रांतियों को सकारात्मक और नकारात्मक दोनों दिशाओं में कर सकते हैं, (या) कोई भी पूर्णांक मान ले सकते हैं।

अर्थात्, मूल समीकरण के समाधान की पहली श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

, , - पूर्णांकों का समुच्चय (1)

इसी प्रकार, समाधानों की दूसरी श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

, कहाँ , । (2)

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, समाधानों की यह श्रृंखला वृत्त के घूर्णन कोण के संगत बिंदु पर आधारित है।

समाधानों की इन दो श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में जोड़ा जा सकता है:

यदि हम इस प्रविष्टि में (अर्थात् सम) लेते हैं, तो हमें समाधानों की पहली श्रृंखला प्राप्त होगी।

यदि हम इस प्रविष्टि में (अर्थात् विषम) लेते हैं, तो हमें समाधानों की दूसरी श्रृंखला प्राप्त होती है।

2. अब समीकरण को हल करते हैं

चूँकि यह एक कोण के माध्यम से घूमने से प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु का भुज है, हम अक्ष पर भुज के साथ बिंदु को चिह्नित करते हैं:

अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें जब तक कि वह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। हमें वृत्त पर पड़े हुए और भुज वाले दो बिंदु मिलेंगे। ये बिंदु घूर्णन कोण और रेडियन के अनुरूप हैं। याद रखें कि दक्षिणावर्त घूमने पर हमें मिलता है नकारात्मक कोणघूर्णन:

आइए समाधानों की दो श्रृंखलाएँ लिखें:

,

,

(हम मुख्य पूर्ण चक्र से जाकर वांछित बिंदु तक पहुंचते हैं।

आइए इन दोनों श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में संयोजित करें:

3. समीकरण हल करें

स्पर्शरेखा रेखा ओए अक्ष के समानांतर इकाई वृत्त के निर्देशांक (1,0) वाले बिंदु से होकर गुजरती है

आइए उस पर 1 के बराबर कोटि से एक बिंदु चिह्नित करें (हम उस स्पर्शरेखा की तलाश कर रहे हैं जिसमें कोण 1 के बराबर है):

आइए इस बिंदु को निर्देशांक के मूल से एक सीधी रेखा से जोड़ें और इकाई वृत्त के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। सीधी रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु घूर्णन के कोणों के अनुरूप होते हैं और :

चूँकि हमारे समीकरण को संतुष्ट करने वाले घूर्णन कोणों के संगत बिंदु एक दूसरे से रेडियन की दूरी पर स्थित हैं, हम समाधान इस प्रकार लिख सकते हैं:

4. समीकरण हल करें

कोटैंजेंट की रेखा अक्ष के समानांतर इकाई वृत्त के निर्देशांक वाले बिंदु से होकर गुजरती है।

आइए कोटैंजेंट की रेखा पर एक बिंदु को भुज -1 से चिह्नित करें:

आइए इस बिंदु को सीधी रेखा के मूल से जोड़ें और इसे तब तक जारी रखें जब तक यह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। यह सीधी रेखा वृत्त को घूर्णन कोण और रेडियन के संगत बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगी:

चूँकि ये बिंदु एक दूसरे से बराबर दूरी से अलग होते हैं सामान्य निर्णयहम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को दर्शाने वाले दिए गए उदाहरणों में, त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मानों का उपयोग किया गया था।

हालाँकि, यदि समीकरण के दाएँ पक्ष में एक गैर-सारणीबद्ध मान है, तो हम मान को समीकरण के सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं:

विशेष समाधान:

आइए वृत्त पर उन बिंदुओं को चिह्नित करें जिनकी कोटि 0 है:

आइए वृत्त पर एक बिंदु चिह्नित करें जिसकी कोटि 1 है:

आइए वृत्त पर एक बिंदु चिह्नित करें जिसकी कोटि -1 के बराबर है:

चूँकि यह शून्य के निकटतम मानों को इंगित करने की प्रथा है, हम समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

आइए वृत्त पर उन बिंदुओं को चिह्नित करें जिनका भुज 0 के बराबर है:

5.
आइए वृत्त पर एक बिंदु चिह्नित करें जिसका भुज 1 के बराबर है:

आइए वृत्त पर एक बिंदु चिह्नित करें जिसका भुज -1 के बराबर है:

और थोड़े अधिक जटिल उदाहरण:

1.

यदि तर्क बराबर है तो ज्या एक के बराबर है

हमारी ज्या का तर्क बराबर है, इसलिए हमें मिलता है:

आइए समानता के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:

उत्तर:

2.

यदि कोसाइन का तर्क है तो कोसाइन शून्य है

हमारी कोज्या का तर्क बराबर है, इसलिए हमें मिलता है:

आइए व्यक्त करें, ऐसा करने के लिए हम पहले विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर बढ़ते हैं:

आइए दाईं ओर को सरल बनाएं:

दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करें:

ध्यान दें कि पद के सामने का चिह्न नहीं बदलता है, क्योंकि k कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है।

उत्तर:

और अंत में, वीडियो पाठ देखें "त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरण में मूलों का चयन करना"

इससे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के बारे में हमारी बातचीत समाप्त होती है। अगली बार हम बात करेंगे कि निर्णय कैसे लें.

वीडियो पाठ्यक्रम "गेट एन ए" में 60-65 अंकों के साथ गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। पूर्णतः सभी समस्याएँ 1-13 प्रोफ़ाइल एकीकृत राज्य परीक्षाअंक शास्त्र। गणित में बेसिक यूनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए भी उपयुक्त। यदि आप 90-100 अंकों के साथ एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और गलतियों के बिना हल करना होगा!

ग्रेड 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह सब कुछ। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा में 70 अंक से अधिक है, और न तो 100 अंक वाला छात्र और न ही मानविकी का छात्र इनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत. त्वरित तरीकेएकीकृत राज्य परीक्षा के समाधान, नुकसान और रहस्य। FIPI टास्क बैंक से भाग 1 के सभी मौजूदा कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से एकीकृत राज्य परीक्षा 2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक विषय 2.5 घंटे का है। प्रत्येक विषय प्रारंभ से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य। शब्द समस्याएँ और संभाव्यता सिद्धांत। समस्याओं को हल करने के लिए सरल और याद रखने में आसान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। पेचीदा समाधान, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से समस्या तक त्रिकोणमिति 13. रटने के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की स्पष्ट व्याख्या. बीजगणित. मूल, घात और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 2 की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है - साइन और कोसाइन के वर्गों का योग, साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति, और अन्य। उन लोगों के लिए जो उन्हें भूल गए हैं या नहीं जानते हैं, हम लेख "" पढ़ने की सलाह देते हैं।
तो, हम बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानते हैं, अब उन्हें अभ्यास में उपयोग करने का समय आ गया है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनापर सही दृष्टिकोण- काफी रोमांचक गतिविधि, जैसे, उदाहरण के लिए, रूबिक क्यूब को हल करना।

नाम के आधार पर ही स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें अज्ञात त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के नीचे होता है।
तथाकथित सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। वे इस तरह दिखते हैं: सिनएक्स = ए, कॉस एक्स = ए, टैन एक्स = ए। चलो गौर करते हैं ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें, स्पष्टता के लिए हम पहले से ही परिचित त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करेंगे।

सिनएक्स = ए

क्योंकि x = ए

टैन एक्स = ए

खाट x = ए

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: हम समीकरण को उसके सरलतम रूप में घटाते हैं और फिर इसे एक सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करते हैं।
ऐसी 7 मुख्य विधियाँ हैं जिनके द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल किया जाता है।

1. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि

समीकरण 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 को हल करें

कटौती सूत्रों का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

सरल बनाने और सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त करने के लिए cos(x + /6) को y से बदलें:

2y 2 – 3y + 1 + 0

जिसके मूल y 1 = 1, y 2 = 1/2 हैं

अब उल्टे क्रम में चलते हैं

हम y के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर विकल्प प्राप्त करते हैं:

2. गुणनखंडन के माध्यम से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

समीकरण syn x + cos x = 1 को कैसे हल करें?

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं ताकि 0 दाईं ओर रहे:

पाप x + cos x – 1 = 0

आइए समीकरण को सरल बनाने के लिए ऊपर चर्चा की गई सर्वसमिकाओं का उपयोग करें:

पाप x - 2 पाप 2 (x/2) = 0

आइए गुणनखंड करें:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

हमें दो समीकरण मिलते हैं

3. एक सजातीय समीकरण में कमी

एक समीकरण ज्या और कोज्या के संबंध में सजातीय होता है यदि उसके सभी पद एक ही कोण की समान डिग्री की ज्या और कोज्या के सापेक्ष हों। एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;

बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें;

ग) सभी कारकों और कोष्ठकों को 0 के बराबर करें;

डी) कोष्ठक में निम्न डिग्री का एक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है, जो बदले में उच्च डिग्री के साइन या कोसाइन में विभाजित होता है;

ई) टीजी के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण 3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos 2 x = 2 को हल करें

आइए सूत्र पाप 2 x + cos 2 x = 1 का उपयोग करें और दाईं ओर खुले दो से छुटकारा पाएं:

3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

पाप 2 x + 4 पाप x क्योंकि x + 3 क्योंकि 2 x = 0

cosx से विभाजित करें:

टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 = 0

tan x को y से बदलें और एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

y 2 + 4y +3 = 0, जिसका मूल y 1 =1, y 2 = 3 है

यहां से हमें मूल समीकरण के दो समाधान मिलते हैं:

x 2 = आर्कटान 3 + के

4. आधे कोण में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना

समीकरण 3sin x – 5cos x = 7 को हल करें

चलिए x/2 पर चलते हैं:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) से विभाजित करें:

टीजी 2 (एक्स/2) – 3टीजी(एक्स/2) + 6 = 0

5. सहायक कोण का परिचय

विचार के लिए, आइए इस रूप का एक समीकरण लें: a पाप x + b cos x = c,

जहां ए, बी, सी कुछ मनमाना गुणांक हैं, और एक्स एक अज्ञात है।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:



अब समीकरण के गुणांकों के अनुसार त्रिकोणमितीय सूत्रगुण पाप और कॉस हैं, अर्थात्: उनका मापांक 1 से अधिक नहीं है और वर्गों का योग = 1 है। आइए हम उन्हें क्रमशः कॉस और पाप के रूप में निरूपित करें, जहां - यह तथाकथित सहायक कोण है। तब समीकरण इस प्रकार बनेगा:

कॉस * सिन एक्स + सिन * कॉस एक्स = सी

या पाप(x + ) = C

इस सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है

x = (-1) k * आर्क्सिन C - + k, कहाँ



यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संकेतन कॉस और पाप विनिमेय हैं।

समीकरण पाप 3x – cos 3x = 1 को हल करें

इस समीकरण में गुणांक हैं:

a = , b = -1, इसलिए दोनों पक्षों को = 2 से विभाजित करें