ज्यामिति में अक्सर त्रिभुजों की भुजाओं से संबंधित समस्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि अन्य दो ज्ञात हों तो त्रिभुज की एक भुजा ज्ञात करना अक्सर आवश्यक होता है।

त्रिभुज समद्विबाहु, समबाहु और असमान होते हैं। सभी विविधता में से, पहले उदाहरण के लिए हम एक आयताकार चुनेंगे (ऐसे त्रिभुज में, कोणों में से एक 90° का होता है, इसके समीप की भुजाओं को पैर कहा जाता है, और तीसरा कर्ण होता है)।

लेख के माध्यम से त्वरित नेविगेशन

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई

समस्या का समाधान महान गणितज्ञ पाइथागोरस के प्रमेय से होता है। इसमें कहा गया है कि एक समकोण त्रिभुज के पादों के वर्गों का योग उसके कर्ण के वर्ग के बराबर होता है: a²+b²=c²

• पैर की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए a;
• पैर बी का वर्ग ज्ञात करें;
• हमने उन्हें एक साथ रखा;
• प्राप्त परिणाम से हम दूसरा मूल निकालते हैं।

उदाहरण: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. अर्थात इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 5 है।

यदि त्रिभुज में समकोण नहीं है, तो दोनों भुजाओं की लंबाई पर्याप्त नहीं है। इसके लिए एक तीसरे पैरामीटर की आवश्यकता है: यह एक कोण, त्रिभुज की ऊंचाई, उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या आदि हो सकता है।

यदि परिधि ज्ञात हो

इस मामले में, कार्य और भी सरल है. परिधि (P) त्रिभुज की सभी भुजाओं का योग है: P=a+b+c. इस प्रकार, एक सरल गणितीय समीकरण को हल करने पर हमें परिणाम मिलता है।

उदाहरण: पी=18, ए=7, बी=6, सी=?

1) हम सभी ज्ञात मापदंडों को समान चिह्न के एक तरफ ले जाकर समीकरण को हल करते हैं:

2) उनके स्थान पर मान रखें और तीसरे पक्ष की गणना करें:

c=18-7-6=5, कुल: त्रिभुज की तीसरी भुजा 5 है।

यदि कोण ज्ञात हो

एक कोण और दो अन्य भुजाओं वाले त्रिभुज की तीसरी भुजा की गणना करने के लिए, समाधान की गणना करना आवश्यक है त्रिकोणमितीय समीकरण. त्रिभुज की भुजाओं और कोण की ज्या के बीच संबंध जानने से तीसरी भुजा की गणना करना आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों पक्षों को वर्गाकार करना होगा और उनके परिणामों को एक साथ जोड़ना होगा। फिर परिणामी उत्पाद से कोण की कोज्या से गुणा की गई भुजाओं के गुणनफल को घटाएं: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

यदि क्षेत्र ज्ञात हो

ऐसे में एक फॉर्मूला से काम नहीं चलेगा.

1) सबसे पहले, इसे त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र से व्यक्त करते हुए, पाप की गणना करें:

पाप γ= 2S/(a*b)

2) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके, हम उसी कोण की कोज्या की गणना करते हैं:

पाप² α + cos² α=1

cos α=√(1 — syn² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) और फिर से हम साइन के प्रमेय का उपयोग करते हैं:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

इस समीकरण में चरों के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें समस्या का उत्तर प्राप्त होता है।

ऑनलाइन कैलकुलेटर.
त्रिकोणों को हल करना.

किसी त्रिभुज को हल करने का अर्थ त्रिभुज को परिभाषित करने वाले किन्हीं तीन तत्वों से उसके सभी छह तत्वों (अर्थात, तीन भुजाएँ और तीन कोण) को खोजना है।

यह गणितीय प्रोग्राम उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट पक्ष \(a\) से भुजाएं \(b, c\), और कोण \(\alpha \) और दो आसन्न कोण \(\beta \) और \(\गामा \) ढूंढता है।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान खोजने की प्रक्रिया भी प्रदर्शित करता है।

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर हाई स्कूल के छात्रों के लिए तैयारी में उपयोगी हो सकता है परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप संख्याएँ दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

संख्याएं दर्ज करने के नियम

संख्याओं को न केवल पूर्ण संख्याओं के रूप में, बल्कि भिन्नों के रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है।
दशमलव भिन्नों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अवधि या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दशमलव भिन्न जैसे 2.5 या 2.5 जैसे दर्ज कर सकते हैं

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
हो सकता है कि आपके पास AdBlock सक्षम हो.
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

क्योंकि समस्या का समाधान करने के इच्छुक बहुत से लोग हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध हो गया है।
कुछ ही सेकंड में समाधान नीचे दिखाई देगा.
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर आप समाधान में एक त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं बताएं कि कौन सा कार्य हैआप तय करें क्या फ़ील्ड में प्रवेश करें.

हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

ज्या का प्रमेय

प्रमेय

त्रिभुज की भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

कोसाइन प्रमेय

प्रमेय
माना त्रिभुज ABC में AB = c, BC = a, CA = b है। तब
किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें उन भुजाओं के गुणनफल का दोगुना और उनके बीच के कोण की कोज्या से गुणा किया जाता है।
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

त्रिकोणों को हल करना

किसी त्रिभुज को हल करने का अर्थ है त्रिभुज को परिभाषित करने वाले किन्हीं तीन तत्वों से उसके सभी छह तत्वों (अर्थात, तीन भुजाएँ और तीन कोण) को खोजना।

आइए त्रिभुज को हल करने से जुड़ी तीन समस्याओं पर नजर डालें। इस मामले में, हम त्रिभुज ABC की भुजाओं के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे: AB = c, BC = a, CA = b।

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक त्रिभुज को हल करना

दिया गया है: \(a, b, \कोण C\). \(c, \कोण A, \कोण B\) खोजें

समाधान
1. कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके हम पाते हैं \(c\):

3. \(\कोण B = 180^\circ -\कोण A -\कोण C\)

किसी त्रिभुज को भुजाओं और आसन्न कोणों द्वारा हल करना

दिया गया है: \(a, \कोण B, \कोण C\). \(\कोण ए, बी, सी\) खोजें

समाधान
1. \(\कोण A = 180^\circ -\कोण B -\कोण C\)

तीन भुजाओं का उपयोग करके एक त्रिभुज को हल करना

दिया गया है: \(a, b, c\). \(\कोण A, \कोण B, \कोण C\) खोजें

समाधान
1. कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. इसी प्रकार, हम कोण B ज्ञात करते हैं।
3. \(\कोण C = 180^\circ -\कोण A -\कोण B\)

दो भुजाओं और एक ज्ञात भुजा के विपरीत कोण का उपयोग करके एक त्रिभुज को हल करना

दिया गया है: \(a, b, \कोण A\). \(c, \कोण B, \कोण C\) खोजें

समाधान
1. ज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं \(\sin B\) हमें मिलता है:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \राइटएरो \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

आइए संकेतन का परिचय दें: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). संख्या D के आधार पर निम्नलिखित स्थितियाँ संभव हैं:
यदि D > 1, तो ऐसा त्रिभुज अस्तित्व में नहीं है, क्योंकि \(\sin B\) 1 से अधिक नहीं हो सकता
यदि D = 1, तो एक अद्वितीय \(\कोण B: \quad \sin B = 1 \दायां तीर \कोण B = 90^\circ \) है
यदि D यदि D 2. \(\कोण C = 180^\circ -\कोण A -\कोण B\)

3. साइन प्रमेय का उपयोग करके, हम पक्ष c की गणना करते हैं:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

पहले वे खंड हैं जो समकोण के समीप हैं, और कर्ण आकृति का सबसे लंबा हिस्सा है और 90 डिग्री के कोण के विपरीत स्थित है। पाइथागोरस त्रिभुज वह है जिसकी भुजाएँ प्राकृतिक संख्याओं के बराबर होती हैं; इस मामले में उनकी लंबाई को "पायथागॉरियन ट्रिपल" कहा जाता है।

मिस्र का त्रिकोण

वर्तमान पीढ़ी को ज्यामिति को उसी रूप में पहचानने के लिए जिस रूप में इसे अभी स्कूल में पढ़ाया जाता है, इसे कई शताब्दियों में विकसित किया गया है। मूल बिंदु पाइथागोरस प्रमेय को माना जाता है। दुनिया भर में ज्ञात एक आयताकार की भुजाएँ 3, 4, 5 होती हैं।

कुछ लोग इस वाक्यांश से परिचित नहीं हैं कि "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।" हालाँकि, वास्तव में प्रमेय इस तरह लगता है: c 2 (कर्ण का वर्ग) = a 2 + b 2 (पैरों के वर्गों का योग)।

गणितज्ञों के बीच, 3, 4, 5 (सेमी, मी, आदि) भुजाओं वाले त्रिभुज को "मिस्र" कहा जाता है। मजे की बात यह है कि चित्र में जो अंकित है वह एक के बराबर है। यह नाम ईसा पूर्व 5वीं शताब्दी के आसपास उत्पन्न हुआ, जब यूनानी दार्शनिकों ने मिस्र की यात्रा की।

पिरामिडों का निर्माण करते समय, वास्तुकारों और सर्वेक्षणकर्ताओं ने 3:4:5 के अनुपात का उपयोग किया। ऐसी संरचनाएँ आनुपातिक, देखने में सुखद और विशाल होती हैं, और शायद ही कभी ढहती हैं।

समकोण बनाने के लिए, बिल्डरों ने एक रस्सी का उपयोग किया, जिस पर 12 गांठें बंधी थीं। इस मामले में, एक समकोण त्रिभुज के निर्माण की संभावना 95% तक बढ़ गई।

आंकड़ों की समानता के संकेत

• में न्यूनकोण सही त्रिकोणऔर बड़ी भुजा, जो दूसरे त्रिभुज में समान तत्वों के बराबर है, आकृतियों की समानता का एक निर्विवाद संकेत है। कोणों के योग को ध्यान में रखते हुए, यह सिद्ध करना आसान है कि दूसरे न्यून कोण भी बराबर होते हैं। इस प्रकार, दूसरी कसौटी के अनुसार त्रिभुज समरूप हैं।
• दो आकृतियों को एक-दूसरे के ऊपर रखते समय, उन्हें घुमाएँ ताकि संयुक्त होने पर वे एक हो जाएँ समद्विबाहु त्रिकोण. इसकी संपत्ति के अनुसार, पक्ष, या बल्कि कर्ण, समान हैं, साथ ही आधार पर कोण भी समान हैं, जिसका अर्थ है कि ये आंकड़े समान हैं।

पहले चिह्न के आधार पर, यह साबित करना बहुत आसान है कि त्रिकोण वास्तव में बराबर हैं, मुख्य बात यह है कि दो छोटी भुजाएँ (यानी, पैर) एक दूसरे के बराबर हैं।

दूसरे मानदंड के अनुसार त्रिकोण समान होंगे, जिसका सार पैर और तीव्र कोण की समानता है।

समकोण वाले त्रिभुज के गुण

समकोण से कम की गई ऊँचाई आकृति को दो बराबर भागों में विभाजित कर देती है।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ और उसकी माध्यिका को इस नियम द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है: कर्ण पर पड़ने वाली माध्यिका उसके आधे के बराबर होती है। इसे हेरॉन के सूत्र और इस कथन दोनों से पाया जा सकता है कि यह पैरों के आधे उत्पाद के बराबर है।

एक समकोण त्रिभुज में 30°, 45° और 60° के कोणों के गुण लागू होते हैं।

• 30° के कोण के साथ, यह याद रखना चाहिए कि विपरीत पैर सबसे बड़ी भुजा के 1/2 के बराबर होगा।
• यदि कोण 45° है, तो दूसरा न्यून कोण भी 45° है। इससे पता चलता है कि त्रिभुज समद्विबाहु है और उसके पैर समान हैं।
• 60° के कोण का गुणधर्म यह है कि तीसरे कोण का डिग्री माप 30° होता है।

तीन सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करके क्षेत्रफल आसानी से पाया जा सकता है:

1. ऊंचाई से और जिस तरफ से वह उतरता है;
2. हेरोन के सूत्र के अनुसार;
3. किनारों पर और उनके बीच का कोण।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ, या यों कहें कि पैर, दो ऊँचाइयों पर मिलते हैं। तीसरे को खोजने के लिए, परिणामी त्रिभुज पर विचार करना आवश्यक है, और फिर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आवश्यक लंबाई की गणना करें। इस सूत्र के अतिरिक्त, क्षेत्रफल के दोगुने और कर्ण की लंबाई के बीच भी एक संबंध है। छात्रों के बीच सबसे आम अभिव्यक्ति पहली है, क्योंकि इसमें कम गणनाओं की आवश्यकता होती है।

समकोण त्रिभुज पर लागू होने वाले प्रमेय

समकोण त्रिभुज ज्यामिति में प्रमेयों का उपयोग शामिल है जैसे:

वास्तविकता में लगभग हर कोने पर एक समकोण त्रिभुज पाया जाता है। किसी दी गई आकृति के गुणों का ज्ञान, साथ ही उसके क्षेत्रफल की गणना करने की क्षमता, निस्संदेह न केवल ज्यामिति समस्याओं को हल करने के लिए, बल्कि जीवन स्थितियों में भी आपके लिए उपयोगी होगी।

त्रिभुज ज्यामिति

प्रारंभिक ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन जुड़े हुए खंड होते हैं जो तीन कोण (दो तीव्र और एक सीधा) बनाते हैं। समकोण त्रिभुज एक मूल आकृति है जो कई महत्वपूर्ण गुणों से युक्त है जो त्रिकोणमिति की नींव बनाती है। एक नियमित त्रिभुज के विपरीत, एक आयताकार आकृति की भुजाओं के अपने नाम होते हैं:

• कर्ण किसी त्रिभुज की समकोण के विपरीत सबसे लंबी भुजा है।
• पैर ऐसे खंड हैं जो समकोण बनाते हैं। विचाराधीन कोण के आधार पर, पैर इसके समीप हो सकता है (कर्ण के साथ इस कोण को बनाते हुए) या विपरीत (कोण के विपरीत स्थित)। गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए कोई पाद नहीं होते हैं।

यह पैरों और कर्ण का अनुपात है जो त्रिकोणमिति का आधार बनता है: साइन, स्पर्शरेखा और छेदक को एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

वास्तविकता में समकोण त्रिभुज

हकीकत में यह आंकड़ा व्यापक हो गया है. त्रिभुजों का उपयोग डिज़ाइन और प्रौद्योगिकी में किया जाता है, इसलिए किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना इंजीनियरों, वास्तुकारों और डिजाइनरों को करनी होती है। टेट्राहेड्रोन या प्रिज्म के आधार - त्रि-आयामी आकृतियाँ जो रोजमर्रा की जिंदगी में आसानी से मिल जाती हैं - एक त्रिकोण के आकार की होती हैं। इसके अतिरिक्त, एक वर्ग वास्तविकता में एक "सपाट" समकोण त्रिभुज का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है। वर्ग एक धातुकर्म, ड्राइंग, निर्माण और बढ़ईगीरी उपकरण है जिसका उपयोग स्कूली बच्चों और इंजीनियरों दोनों द्वारा कोण बनाने के लिए किया जाता है।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल एक मात्रात्मक अनुमान है कि विमान का कितना भाग त्रिभुज की भुजाओं से घिरा है। एक साधारण त्रिभुज का क्षेत्रफल पांच तरीकों से पाया जा सकता है, हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके या खुदे हुए या परिबद्ध वृत्त के आधार, भुजा, कोण और त्रिज्या जैसे चर का उपयोग करके। क्षेत्रफल के लिए सबसे सरल सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, h उसकी ऊँचाई है।

समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र और भी सरल है:

जहाँ a और b पैर हैं।

हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ काम करते हुए, आप तीन जोड़े मापदंडों का उपयोग करके एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

• दो पैर;
• पैर और आसन्न कोण;
• पैर और विपरीत कोण.

समस्याओं या रोजमर्रा की स्थितियों में आपको चर के विभिन्न संयोजन दिए जाएंगे, इसलिए कैलकुलेटर का यह रूप आपको कई तरीकों से त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है। आइए कुछ उदाहरण देखें.

वास्तविक जीवन के उदाहरण

सिरेमिक टाइल

मान लीजिए कि आप रसोई की दीवारों को सिरेमिक टाइलों से ढंकना चाहते हैं, जिनका आकार समकोण त्रिभुज जैसा है। टाइल्स की खपत निर्धारित करने के लिए, आपको एक क्लैडिंग तत्व का क्षेत्रफल और उपचारित सतह के कुल क्षेत्रफल का पता लगाना होगा। मान लीजिए कि आपको 7 वर्ग मीटर संसाधित करने की आवश्यकता है। एक तत्व के पैरों की लंबाई 19 सेमी है, तो टाइल का क्षेत्रफल बराबर होगा:

इसका मतलब है कि एक तत्व का क्षेत्रफल 24.5 वर्ग सेंटीमीटर या 0.01805 वर्ग मीटर है। इन मापदंडों को जानकर, आप गणना कर सकते हैं कि 7 वर्ग मीटर की दीवार को खत्म करने के लिए आपको 7/0.01805 = 387 फेसिंग टाइल्स की आवश्यकता होगी।

स्कूल का कार्य

मान लीजिए कि एक स्कूल ज्यामिति समस्या में आपको एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, केवल यह जानते हुए कि एक पैर की भुजा 5 सेमी है, और विपरीत कोण 30 डिग्री है। हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को दर्शाने वाले एक चित्र के साथ आता है। यदि भुजा a = 5 सेमी है, तो इसका सम्मुख कोण 30 डिग्री के बराबर कोण अल्फा है। इस डेटा को कैलकुलेटर फॉर्म में दर्ज करें और परिणाम प्राप्त करें:

इस प्रकार, कैलकुलेटर न केवल किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है, बल्कि आसन्न पैर और कर्ण की लंबाई, साथ ही दूसरे कोण का मान भी निर्धारित करता है।

निष्कर्ष

समकोण त्रिभुज हमारे जीवन में वस्तुतः हर कोने पर पाए जाते हैं। ऐसे आंकड़ों का क्षेत्रफल निर्धारित करना आपके लिए न केवल ज्यामिति में स्कूल असाइनमेंट को हल करते समय, बल्कि रोजमर्रा और व्यावसायिक गतिविधियों में भी उपयोगी होगा।

जीवन में, हमें अक्सर गणितीय समस्याओं से जूझना पड़ता है: स्कूल में, विश्वविद्यालय में, और फिर होमवर्क में अपने बच्चे की मदद करना। कुछ व्यवसायों में लोग दैनिक आधार पर गणित का सामना करेंगे। इसलिए, गणितीय नियमों को याद करना या स्मरण करना उपयोगी है। इस लेख में हम उनमें से एक पर गौर करेंगे: एक समकोण त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना।

समकोण त्रिभुज क्या है

सबसे पहले, आइए याद रखें कि समकोण त्रिभुज क्या है। एक समकोण त्रिभुज है ज्यामितीय आकृतितीन खंड जो उन बिंदुओं को जोड़ते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं, और इस आकृति का एक कोण 90 डिग्री है। समकोण बनाने वाली भुजाएँ पैर कहलाती हैं, और समकोण के विपरीत स्थित भुजा कर्ण कहलाती है।

एक समकोण त्रिभुज का पाद ढूँढना

पैर की लंबाई पता करने के कई तरीके हैं। मैं उन पर अधिक विस्तार से विचार करना चाहूंगा।

समकोण त्रिभुज की भुजा ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय

यदि हम कर्ण और पैर को जानते हैं, तो हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात पैर की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा लगता है: "कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।" सूत्र: c²=a²+b², जहां c कर्ण है, a और b पैर हैं। हम सूत्र को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं: a²=c²-b²।

उदाहरण। कर्ण 5 सेमी है, और पैर 3 सेमी है। हम सूत्र को बदलते हैं: c²=a²+b² → a²=c²-b²। आगे हम हल करते हैं: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; ए=4 (सेमी).

समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

यदि किसी समकोण त्रिभुज की कोई अन्य भुजा और कोई न्यूनकोण ज्ञात हो तो आप एक अज्ञात पाद भी पा सकते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके एक पैर खोजने के लिए चार विकल्प हैं: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट। नीचे दी गई तालिका हमें समस्याओं को हल करने में मदद करेगी। आइए इन विकल्पों पर विचार करें.

साइन का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात करें

किसी कोण की ज्या (sine) विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात है। सूत्र: पाप=ए/सी, जहां ए दिए गए कोण के विपरीत पैर है, और सी कर्ण है। इसके बाद, हम सूत्र को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं: a=sin*c।

उदाहरण। कर्ण 10 सेमी है, कोण A 30 डिग्री है। तालिका का उपयोग करके, हम कोण A की ज्या की गणना करते हैं, यह 1/2 के बराबर है। फिर, परिवर्तित सूत्र का उपयोग करके, हम हल करते हैं: a=sin∠A*c; ए=1/2*10; ए=5 (सेमी).

कोज्या का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

किसी कोण की कोज्या (cos) आसन्न पाद और कर्ण का अनुपात है। सूत्र: cos=b/c, जहां b किसी दिए गए कोण से सटा हुआ पैर है, और c कर्ण है। आइए सूत्र को रूपांतरित करें और प्राप्त करें: b=cos*c।

उदाहरण। कोण A 60 डिग्री के बराबर है, कर्ण 10 सेमी के बराबर है। तालिका का उपयोग करके, हम कोण A की कोज्या की गणना करते हैं, यह 1/2 के बराबर है। आगे हम हल करते हैं: b=cos∠A*c; बी=1/2*10, बी=5 (सेमी)।

स्पर्शरेखा का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

किसी कोण की स्पर्शरेखा (tg) विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है। सूत्र: tg=a/b, जहां a कोण के विपरीत पक्ष है, और b आसन्न पक्ष है। आइए सूत्र को रूपांतरित करें और प्राप्त करें: a=tg*b।

उदाहरण। कोण A 45 डिग्री के बराबर है, कर्ण 10 सेमी के बराबर है। तालिका का उपयोग करके, हम कोण A की स्पर्श रेखा की गणना करते हैं, यह हल के बराबर है: a=tg∠A*b; ए=1*10; ए=10 (सेमी).

कोटैंजेंट का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

कोण कोटैंजेंट (सीटीजी) आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात है। सूत्र: ctg=b/a, जहां b कोण से सटा हुआ पैर है, और विपरीत पैर है। दूसरे शब्दों में, कोटैंजेंट एक "उलटा स्पर्शरेखा" है। हमें मिलता है: b=ctg*a.

उदाहरण। कोण A 30 डिग्री है, विपरीत पैर 5 सेमी है। तालिका के अनुसार, कोण A का स्पर्शरेखा √3 है। हम गणना करते हैं: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (सेमी).

तो अब आप जानते हैं कि समकोण त्रिभुज में एक पैर कैसे खोजा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह उतना कठिन नहीं है, मुख्य बात सूत्रों को याद रखना है।