Kaip padidinti laipsnį su neigiamu rodikliu. Galios išraiškos (išraiškos su galiomis) ir jų transformacija. Teigiamas ir neigiamas laipsnis

Viena iš pagrindinių algebros ir visos matematikos savybių yra laipsnis. Žinoma, XXI amžiuje visus skaičiavimus galima atlikti internetiniu skaičiuotuvu, tačiau smegenų vystymuisi geriau išmokti tai padaryti patiems.

Šiame straipsnyje apžvelgsime svarbiausius su šiuo apibrėžimu susijusius klausimus. Būtent, supraskime, kas tai apskritai yra ir kokios yra jo pagrindinės funkcijos, kokios matematikos savybės.

Pažvelkime į pavyzdžius, kaip atrodo skaičiavimas ir kokios yra pagrindinės formulės. Pažvelkime į pagrindinius dydžių tipus ir kuo jie skiriasi nuo kitų funkcijų.

Leiskite mums suprasti, kaip išspręsti įvairias problemas naudojant šį kiekį. Pavyzdžiais parodysime, kaip pakelti iki nulinės galios, neracionalų, neigiamą ir pan.

Internetinė eksponencijos skaičiuoklė

Kas yra skaičiaus galia

Ką reiškia posakis „pakelti skaičių iki laipsnio“?

Skaičiaus galia n yra a dydžio veiksnių sandauga n kartų iš eilės.

Matematiškai tai atrodo taip:

a n = a * a * a * …a n .

Pavyzdžiui:

• 2 3 = 2 trečiame laipsnyje. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 žingsniui. du = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 žingsniui. keturi = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 4 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Žemiau yra kvadratų ir kubelių nuo 1 iki 10 lentelė.

Laipsnių lentelė nuo 1 iki 10

Žemiau pateikiami natūraliųjų skaičių padidinimo iki teigiamų galių rezultatai - „nuo 1 iki 100“.

Laipsnių savybės

Kas būdinga tokiai matematinei funkcijai? Pažvelkime į pagrindines savybes.

Mokslininkai nustatė šiuos dalykus Visiems laipsniams būdingi ženklai:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Patikrinkime su pavyzdžiais:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Kita vertus, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Panašiai: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kitu atveju 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. O jei skiriasi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kaip matote, taisyklės veikia.

Bet ką apie su pridėjimu ir atėmimu? Tai paprasta. Pirmiausia atliekamas eksponentinis koeficientas, o tada sudėjimas ir atėmimas.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Atkreipkite dėmesį: taisyklė negalios, jei pirmiausia atimsite: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Tačiau šiuo atveju pirmiausia turite apskaičiuoti priedą, nes skliausteliuose yra veiksmų: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kaip gaminti skaičiavimai sudėtingesniais atvejais? Tvarka ta pati:

• jei yra skliaustų, reikia pradėti nuo jų;
• tada eksponencija;
• tada atlikti daugybos ir dalybos operacijas;
• po sudėjimo, atimties.

Yra specifinių savybių, kurios būdingos ne visiems laipsniams:

1. Skaičiaus a iki m laipsnio n-oji šaknis bus parašyta taip: a m / n.
2. Keliant trupmeną į laipsnį: ši procedūra taikoma ir skaitikliui, ir jo vardikliui.
3. Keliant skirtingų skaičių sandaugą į laipsnį, išraiška atitiks šių skaičių sandaugą su duotuoju laipsniu. Tai yra: (a * b) n = a n * b n .
4. Didinant skaičių iki neigiamo laipsnio, 1 reikia padalyti iš skaičiaus tame pačiame amžiuje, bet su „+“ ženklu.
5. Jei trupmenos vardiklis yra neigiamas laipsnis, tai ši išraiška bus lygi skaitiklio sandaugai, o vardiklio - teigiamai laipsnei.
6. Bet koks skaičius, kurio laipsnis yra 0 = 1, ir laipsnis. 1 = sau.

Šios taisyklės kai kuriais atvejais yra svarbios, jas apsvarstysime išsamiau.

Laipsnis su neigiamu rodikliu

Ką daryti su minuso laipsniu, t.y. kai rodiklis neigiamas?

Remiantis 4 ir 5 savybėmis(žr. aukščiau esantį punktą), paaiškėja:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Ir atvirkščiai:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

O jei tai trupmena?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Laipsnis su natūraliu indikatoriumi

Jis suprantamas kaip laipsnis, kurio rodikliai lygūs sveikiesiems skaičiams.

Ką reikia atsiminti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ir t.t.

A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...ir t.t.

Be to, jei (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...tada rezultatas bus su „+“ ženklu. Jei neigiamas skaičius padidinamas iki nelyginio laipsnio, tada atvirkščiai.

Jiems būdingos ir bendrosios savybės bei visos aukščiau aprašytos specifinės savybės.

Trupmeninis laipsnis

Šį tipą galima parašyti kaip schemą: A m / n. Skaityti kaip: n-oji skaičiaus A šaknis iki laipsnio m.

Su trupmeniniu indikatoriumi galite daryti ką norite: sumažinti, padalinti į dalis, pakelti į kitą galią ir pan.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Tegu α yra neracionalusis skaičius, o A ˃ 0.

Norėdami suprasti laipsnio esmę naudojant tokį rodiklį, Pažvelkime į įvairius galimus atvejus:

• A = 1. Rezultatas bus lygus 1. Kadangi yra aksioma - 1 visose laipsniais lygus vienetui;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalieji skaičiai;

• 0˂А˂1.

Šiuo atveju viskas yra atvirkščiai: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 tomis pačiomis sąlygomis kaip ir antroje pastraipoje.

Pavyzdžiui, eksponentas yra skaičius π. Tai racionalu.

r 1 – šiuo atveju lygus 3;

r 2 – bus lygus 4.

Tada, jei A = 1, 1 π = 1.

A = 2, tada 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, tada (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π˂ 1/8.

Tokiems laipsniams būdingi visi aukščiau aprašyti matematiniai veiksmai ir specifinės savybės.

Išvada

Apibendrinkime – kam reikalingi šie kiekiai, kokie tokių funkcijų privalumai? Žinoma, pirmiausia jie supaprastina matematikų ir programuotojų gyvenimą sprendžiant pavyzdžius, nes leidžia sumažinti skaičiavimus, sutrumpinti algoritmus, sisteminti duomenis ir dar daugiau.

Kur dar šios žinios gali būti naudingos? Bet kurioje darbo specialybėje: medicina, farmakologija, odontologija, statyba, technologija, inžinerija, dizainas ir kt.

Iš mokyklos visi žinome taisyklę apie eksponentinį koeficientą: bet kuris skaičius, kurio rodiklis N yra lygus rezultatui, padauginus šį skaičių iš N kartų. Kitaip tariant, 7 iki 3 laipsnio yra 7, padaugintas iš savęs tris kartus, tai yra, 343. Kita taisyklė yra ta, kad padidinus bet kokį kiekį iki laipsnio 0 gaunamas vienetas, o padidinus neigiamą dydį yra įprasto didinimo į laipsnį rezultatas. galia, jei ji yra lyginė, ir tas pats rezultatas su minuso ženklu, jei jis yra nelyginis.

Taisyklėse taip pat pateikiamas atsakymas, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Norėdami tai padaryti, įprastu būdu turite padidinti reikiamą vertę pagal indikatoriaus modulį, o tada padalinti vienetą iš rezultato.

Iš šių taisyklių tampa aišku, kad norint atlikti realias užduotis, susijusias su dideliais kiekiais, reikės turėti technines priemones. Rankiniu būdu galite padauginti iš savęs didžiausią skaičių diapazoną iki dvidešimties iki trisdešimties, o tada ne daugiau kaip tris ar keturis kartus. Jau nekalbant apie tai, kad dalijame vieną iš rezultato. Todėl tiems, kurie neturi po ranka specialaus inžinerinio skaičiuotuvo, pasakysime, kaip „Excel“ pakelti skaičių iki neigiamo laipsnio.

Problemų sprendimas Excel programoje

Norėdami išspręsti problemas, susijusias su eksponencija, programa „Excel“ leidžia naudoti vieną iš dviejų parinkčių.

Pirmasis yra formulės su standartiniu „dangtelio“ ženklu naudojimas. Į darbalapio langelius įveskite šiuos duomenis:

Lygiai taip pat galite pakelti norimą reikšmę iki bet kokios galios – neigiamos, trupmeninės. Atlikime šiuos veiksmus ir atsakykime į klausimą, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Pavyzdys:

Galite pataisyti =B2^-C2 tiesiai formulėje.

Antrasis variantas yra naudoti paruoštą funkciją „Laipsnis“, kuriai reikalingi du būtini argumentai - skaičius ir eksponentas. Norėdami pradėti jį naudoti, tiesiog įdėkite lygybės ženklą (=) į bet kurį laisvą langelį, nurodantį formulės pradžią, ir įveskite aukščiau pateiktus žodžius. Belieka pasirinkti du langelius, kurie dalyvaus operacijoje (arba rankiniu būdu nurodyti konkrečius skaičius) ir paspausti klavišą Enter. Pažvelkime į kelis paprastus pavyzdžius.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo, kaip naudojant „Excel“ skaičių pakelti į neigiamą laipsnį ir į įprastą laipsnį. Galų gale, norėdami išspręsti šią problemą, galite naudoti pažįstamą „dangčio“ simbolį ir programoje integruotą funkciją, kurią lengva prisiminti. Tai neabejotinas pliusas!

Pereikime prie sudėtingesnių pavyzdžių. Prisiminkime taisyklę, kaip skaičių pakelti iki neigiamos trupmeninės laipsnio, ir pamatysime, kad Excel programoje ši problema labai lengvai išsprendžiama.

Trupmeniniai rodikliai

Trumpai tariant, skaičiaus su trupmeniniu rodikliu apskaičiavimo algoritmas yra toks.

1. Paverskite trupmeną į tinkamą arba netinkamą trupmeną.
2. Padidinkite mūsų skaičių iki gautos konvertuotos trupmenos skaitiklio.
3. Iš ankstesnėje pastraipoje gauto skaičiaus apskaičiuokite šaknį su sąlyga, kad šaknies rodiklis bus pirmajame etape gautos trupmenos vardiklis.

Sutikite, kad net ir dirbant su mažais skaičiais ir tinkamomis trupmenomis tokie skaičiavimai gali užtrukti daug laiko. Gerai, kad Excel skaičiuoklių procesoriui nesvarbu, koks skaičius pakeltas iki kokios galios. Pabandykite išspręsti šį pavyzdį „Excel“ darbalapyje:

Naudodami aukščiau pateiktas taisykles galite patikrinti ir įsitikinti, kad skaičiavimas atliktas teisingai.

Straipsnio pabaigoje lentelės su formulėmis ir rezultatais pavidalu pateiksime keletą pavyzdžių, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį, taip pat keletą operacijų su trupmeniniais skaičiais ir laipsniais pavyzdžių.

Lentelės pavyzdys

Peržiūrėkite šiuos pavyzdžius „Excel“ darbalapyje. Kad viskas veiktų tinkamai, kopijuodami formulę turite naudoti mišrią nuorodą. Pataisykite stulpelio, kuriame yra keliamas skaičius, numerį ir eilutės, kurioje yra indikatorius, numerį. Jūsų formulė turėtų atrodyti maždaug taip: „=$B4^C$3“.

Atkreipkite dėmesį, kad teigiami skaičiai (net ir ne sveikieji skaičiai) gali būti apskaičiuojami be problemų bet kuriam eksponentui. Padidinus bet kokius skaičius iki sveikųjų skaičių problemų nėra. Tačiau neigiamo skaičiaus padidinimas iki trupmeninės laipsnio jums bus klaida, nes neįmanoma laikytis mūsų straipsnio pradžioje nurodytos taisyklės dėl neigiamų skaičių didinimo, nes paritetas būdingas tik VISAM skaičiui.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame skyriuje aptariama koncepcija laipsnių tik su natūraliuoju rodikliu ir nulis.

Galių su racionaliais rodikliais (su neigiamuoju ir trupmeniniu) samprata ir savybės bus aptariamos 8 klasės pamokose.

Taigi, išsiaiškinkime, kas yra skaičiaus galia. Norint parašyti savaime skaičiaus sandaugą, kelis kartus naudojamas sutrumpintas žymėjimas.

Vietoj šešių identiškų koeficientų sandaugos 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 parašykite 4 6 ir pasakykite „nuo keturių iki šeštos laipsnio“.

Išraiška 4 6 vadinama skaičiaus laipsniu, kur:

• 4 — laipsnio bazė;
• 6 — eksponentas.

Paprastai laipsnis su baze "a" ir laipsniu "n" rašomas naudojant išraišką:

Prisiminti!

Skaičiaus „a“, kurio natūralusis rodiklis „n“ didesnis nei 1, laipsnis yra „n“ identiškų faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus skaičiui „a“.

Įrašas „a n“ skamba taip: „a iki n laipsnio“ arba „n-asis skaičiaus a laipsnis“.

Išimtys yra šie įrašai:

• a 2 - jis gali būti tariamas kaip „kvadratas“;
• 3 – jis gali būti tariamas kaip „kubas“.

• a 2 - „a į antrąją laipsnį“;
• a 3 - „a iki trečiosios laipsnio“.

Ypatingi atvejai atsiranda, jei rodiklis yra lygus vienetui arba nuliui (n = 1; n = 0).

Prisiminti!

Skaičiaus „a“, kurio eksponentas n = 1, laipsnis yra pats šis skaičius:
a 1 = a

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.
a 0 = 1

Nulis bet kokiai natūraliai galiai yra lygus nuliui.
0 n = 0

Vienas bet kuriai laipsniai yra lygus 1.
1 n = 1

Išraiška 0 0 ( nuo nulio iki nulinės galios) yra laikomi beprasmiais.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Sprendžiant pavyzdžius, reikia atsiminti, kad kėlimas į laipsnį – tai skaitinės ar raidinės reikšmės radimas ją padidinus iki laipsnio.

Pavyzdys. Pakelkite iki galios.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Neigiamojo skaičiaus didinimas iki laipsnio

Bazė (skaičius, pakeltas į laipsnį) gali būti bet koks skaičius – teigiamas, neigiamas arba nulis.

Prisiminti!

Teigiamą skaičių padidinus iki laipsnio, gaunamas teigiamas skaičius.

Kai nulis padidinamas iki natūralios laipsnio, rezultatas yra nulis.

Kai neigiamas skaičius padidinamas iki laipsnio, rezultatas gali būti teigiamas arba neigiamas skaičius. Tai priklauso nuo to, ar eksponentas buvo lyginis ar nelyginis skaičius.

Pažvelkime į neigiamų skaičių didinimo laipsniais pavyzdžius.

Iš nagrinėtų pavyzdžių aišku, kad jei neigiamas skaičius pakeltas iki nelyginio laipsnio, tada gaunamas neigiamas skaičius. Kadangi nelyginio neigiamų veiksnių skaičiaus sandauga yra neigiama.

Jei neigiamas skaičius padidinamas iki lyginio laipsnio, jis tampa teigiamu skaičiumi. Kadangi lyginio skaičiaus neigiamų veiksnių sandauga yra teigiama.

Prisiminti!

Neigiamas skaičius, pakeltas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius.

Neigiamas skaičius, padidintas iki nelyginio laipsnio, yra neigiamas skaičius.

Bet kurio skaičiaus kvadratas yra teigiamas skaičius arba nulis, tai yra:

a 2 ≥ 0 bet kuriam a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Pastaba!

Sprendžiant eksponentiškumo pavyzdžius, dažnai daromos klaidos, pamirštant, kad įrašai (−5) 4 ir −5 4 yra skirtingos išraiškos. Šių posakių iškėlimo į galias rezultatai bus skirtingi.

Apskaičiuoti (−5) 4 reiškia rasti neigiamo skaičiaus ketvirtojo laipsnio reikšmę.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

Nors „−5 4“ radimas reiškia, kad pavyzdį reikia išspręsti dviem etapais:

1. Pakelkite teigiamą skaičių 5 iki ketvirtosios laipsnio.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Prieš gautą rezultatą padėkite minuso ženklą (tai yra, atlikite atimties veiksmą).
   −5 4 = −625

Pavyzdys. Apskaičiuokite: −6 2 − (−1) 4

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Procedūra pavyzdžiuose su laipsniais

Vertės apskaičiavimas vadinamas eksponencijos veiksmu. Tai yra trečiojo etapo veiksmas.

Prisiminti!

Posakiuose su galiomis, kuriose nėra skliaustų, pirmiausia darykite eksponencija, tada daugyba ir dalyba, ir pabaigoje sudėjimas ir atėmimas.

Jei reiškinyje yra skliaustų, pirmiausia atlikite skliausteliuose nurodytus veiksmus aukščiau nurodyta tvarka, o tada atlikite likusius veiksmus ta pačia tvarka iš kairės į dešinę.

Pavyzdys. Apskaičiuoti:

Kad būtų lengviau spręsti pavyzdžius, naudinga žinoti ir naudoti laipsnių lentelę, kurią galite nemokamai atsisiųsti iš mūsų svetainės.

Norėdami patikrinti savo rezultatus, galite naudoti skaičiuotuvą mūsų svetainėje "

Pamoka ir pristatymas tema: "Laikiklis su neigiamu rodikliu. Problemų sprendimo apibrėžimas ir pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 8 klasei
Vadovėlio vadovas Muravinas G.K. Alimovo Sh.A. vadovėlio vadovas.

Laipsnio nustatymas su neigiamu rodikliu

Gerai žinome, kad bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui. $a^0=1$, $a≠0$.
Kyla klausimas, kas atsitiks, jei skaičių padidinsite iki neigiamos galios? Pavyzdžiui, kam bus lygus skaičius $2^(-2)$?
Pirmieji matematikai, uždėję šį klausimą, nusprendė, kad dviračio išradinėti neverta, o gerai, kad visos laipsnių savybės išliko tokios pačios. Tai yra, padauginus laipsnius su ta pačia baze, eksponentai sumuojasi.
Panagrinėkime šį atvejį: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Mes nustatėme, kad tokių skaičių sandauga turėtų duoti vieną. Produkto vienetas gaunamas padauginus abipusius skaičius, tai yra $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Toks samprotavimas lėmė tokį apibrėžimą.
Apibrėžimas. Jei $n$ yra natūralusis skaičius ir $a≠0$, tada galioja lygybė: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Svarbi tapatybė, kuri dažnai naudojama: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Visų pirma $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Sprendimų pavyzdžiai

Sprendimas.
Panagrinėkime kiekvieną terminą atskirai.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Belieka atlikti sudėjimo ir atimties operacijas: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) USD.
Atsakymas: $6\frac(1)(4)$.

2 pavyzdys.
Pateikite duotą skaičių kaip pirminio skaičiaus $\frac(1)(729)$ laipsnį.

Sprendimas.
Akivaizdu, kad $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tačiau 729 nėra pirminis skaičius, kuris baigiasi skaičiumi 9. Galima daryti prielaidą, kad šis skaičius yra trijų laipsnis. Nuosekliai padalinkite 729 iš 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Buvo atliktos šešios operacijos ir tai reiškia: $729=3^6$.
Mūsų užduočiai:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Atsakymas: $3^(-6)$.

3 pavyzdys. Išreikškite išraišką kaip laipsnį: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Sprendimas. Pirmasis veiksmas visada atliekamas skliausteliuose, tada daugyba $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Atsakymas: $a$.

4 pavyzdys. Įrodykite tapatybę:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Sprendimas.
Kairėje pusėje mes svarstome kiekvieną veiksnį skliausteliuose atskirai.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Pereikime prie trupmenos, iš kurios dalijame.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Atlikime padalijimą.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Gavome teisingą tapatybę, kurią turėjome įrodyti.

Pamokos pabaigoje dar kartą surašysime darbo su galiomis taisykles, čia rodiklis yra sveikasis skaičius.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai