Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.
Trikampio ploto formules
- Formulė trikampio plotui pagal kraštą ir aukštį
Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos - Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
- Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai. kur S yra trikampio plotas,
- trikampio kraštinių ilgiai,
- trikampio aukštis,
- kampas tarp šonų ir
- įbrėžto apskritimo spindulys,
R - apibrėžto apskritimo spindulys,
Kvadratinės ploto formulės
- Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui. - Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.S = 1 2 2 kur S yra kvadrato plotas,
- kvadrato kraštinės ilgis,
- kvadrato įstrižainės ilgis.
Stačiakampio ploto formulė
- Stačiakampio plotas lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai
kur S yra stačiakampio plotas,
- stačiakampio kraštinių ilgiai.
Lygiagretainio ploto formulės
- Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
Lygiagretainio plotas - Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.a b sin α
kur S yra lygiagretainio plotas,
- lygiagretainio kraštinių ilgiai,
- lygiagretainio aukščio ilgis,
- kampas tarp lygiagretainio kraštinių.
Rombo ploto formulės
- Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
Rombo plotas lygus jos kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai. - Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai. - Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos. kur S yra rombo plotas,
- rombo kraštinės ilgis,
- rombo aukščio ilgis,
- kampas tarp rombo kraštų,
1, 2 - įstrižainių ilgiai.
Trapecijos plotų formulės
- Garnio trapecijos formulė
kur S yra trapecijos plotas,
- trapecijos pagrindų ilgiai,
- trapecijos kraštinių ilgiai,
Internete galite rasti daugiau nei 10 formulių, skirtų trikampio plotui apskaičiuoti. Tačiau yra keletas sudėtingų pavyzdžių kur pagal priskyrimo sąlygas žinoma tik viena kraštinė ir trikampio kampai arba apibrėžiamo ar įbrėžto apskritimo spindulys ir dar viena charakteristika. Tokiais atvejais negalima taikyti paprastos formulės.
Žemiau pateiktos formulės leis išspręsti 95 procentus problemų, kuriose reikia rasti trikampio plotą.
Pereikime prie bendrų sričių formulių svarstymo.
Apsvarstykite žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotą trikampį
Paveiksle ir toliau pateiktose formulėse pateikiami klasikiniai visų jo charakteristikų pavadinimai
a,b,c – trikampio kraštinės,
R – apibrėžto apskritimo spindulys,
r – įbrėžto apskritimo spindulys,
h[b],h[a],h[c] – aukščiai nubrėžti pagal kraštines a,b,c.
alfa, beta, hama – kampai šalia viršūnių.
Pagrindinės trikampio ploto formulės
1. Plotas lygus pusei trikampio kraštinės ir į šią kraštinę nuleisto aukščio sandaugos. Formulių kalba šis apibrėžimas gali būti parašytas taip
Taigi, jei žinoma kraštinė ir aukštis, kiekvienas mokinys ras plotą.
Beje, iš šios formulės galima išvesti vieną naudingą ryšį tarp aukščių
2. Jei atsižvelgsime į tai, kad trikampio aukštis per gretimą kraštinę išreiškiamas priklausomybe
Tada po pirmosios srities formulės seka antrosios to paties tipo
Atidžiai pažiūrėkite į formules – jas lengva įsiminti, nes darbas apima dvi puses ir kampą tarp jų. Jei teisingai pažymime trikampio kraštines ir kampus (kaip aukščiau esančiame paveikslėlyje), gausime du pusės a,b o kampas sujungtas su trečiuoju Su (hamma).
3. Trikampio kampų santykis yra teisingas
Priklausomybė leidžia skaičiuojant naudoti šias trikampio ploto formules:
Šios priklausomybės pavyzdžiai yra labai reti, tačiau turite atsiminti, kad yra tokia formulė.
4. Jei žinomi šoniniai ir du gretimi kampai, tai plotas randamas pagal formulę
5. Ploto formulė pagal kraštinę ir gretimų kampų kotangentą yra tokia
Pertvarkydami indeksus galite gauti priklausomybę nuo kitų šalių.
6. Žemiau pateikta ploto formulė naudojama uždaviniuose, kai trikampio viršūnės plokštumoje nurodytos koordinatėmis. Šiuo atveju plotas yra lygus pusei determinanto, paimto modulo.
7. Garnio formulė naudojami pavyzdžiuose su žinomomis trikampio kraštinėmis.
Pirmiausia raskite trikampio pusperimetrą
Ir tada pagal formulę nustatykite plotą
arba
Jis gana dažnai naudojamas skaičiuotuvų programų kode.
8. Jei žinomi visi trikampio aukščiai, tai plotas nustatomas pagal formulę
Sunku skaičiuoti skaičiuotuvu, bet MathCad, Mathematica, Maple paketuose plotas yra „laikas du“.
9. Šiose formulėse naudojami žinomi įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spinduliai. 
Visų pirma, jei žinomi trikampio spindulys ir kraštinės arba jo perimetras, tada plotas apskaičiuojamas pagal formulę
10. Pavyzdžiuose, kur nurodytos apibrėžto apskritimo kraštinės ir spindulys arba skersmuo, plotas randamas naudojant formulę
11. Ši formulė nustato trikampio plotą pagal trikampio kraštinę ir kampus.
Ir galiausiai – ypatingi atvejai:
Stačiojo trikampio plotas kurių kojos a ir b lygios pusei jų sandaugos
Lygiakraščio (taisyklingo) trikampio ploto formulė=
= viena ketvirtoji kraštinės kvadrato ir trijų šaknies sandaugos.
Norėdami išspręsti geometrijos problemas, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprastus metodus, kuriuos apžvelgsime.
Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir taikykite!
Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, antroje dalyje išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius profilis Vieningas valstybinis egzaminas Matematikoje taip pat naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.
O kas, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kokios nors sudėtingos figūros plotą? Yra universalių būdų! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.
1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – padalinkime šią figūrą į tas, apie kurias žinome viską, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.
Padalinkite šį keturkampį su horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra lygūs ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .
Atsakymas:.
2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip kai kurių sričių skirtumas.
Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus šio trikampio pagrindas ir aukštis! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus skirtumui tarp kvadrato su kraštine ir trijų plotų stačiųjų trikampių. Ar matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .
Atsakymas:.
3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros plotą, o jos dalį. Paprastai mes kalbame apie sektoriaus plotą - apskritimo dalį Raskite apskritimo, kurio lanko ilgis yra lygus, plotą.
Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus . Belieka išsiaiškinti, kuri apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra lygus (nuo ), o tam tikro sektoriaus lanko ilgis lygus , tai lanko ilgis kelis kartus mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, kuriuo remiasi šis lankas, taip pat yra mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.
Visos plokštumos figūrų ploto formulės
Lygiašonės trapecijos plotas
1. Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant kraštines ir kampus
a - apatinė bazė
b - viršutinė bazė
c - lygios pusės
α - kampas prie apatinio pagrindo
Lygiašonės trapecijos per šonus ploto formulė (S):
Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant kraštines ir kampus, (S):
2. Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal įbrėžto apskritimo spindulį
R – įbrėžto apskritimo spindulys
D - įrašyto apskritimo skersmuo
O – įbrėžto apskritimo centras
H - trapecijos aukštis
α, β - trapecijos kampai
Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal įbrėžto apskritimo spindulį (S):
FAIR, įbrėžtam apskritimui lygiašone trapecija:
3. Formulė lygiašonės trapecijos plotui per įstrižaines ir kampą tarp jų
d yra trapecijos įstrižainė
α,β- kampai tarp įstrižainių
Lygiašonės trapecijos ploto per įstrižaines ir kampo tarp jų formulė (S):
4. Lygiašonės trapecijos ploto per vidurinę liniją, šoninę kraštinę ir kampą prie pagrindo formulė
c- pusė
m - trapecijos vidurio linija
α, β - kampai prie pagrindo
Lygiašonės trapecijos ploto formulė, naudojant vidurio liniją, šoninę kraštinę ir pagrindo kampą,
(S): 
5. Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant pagrindus ir aukštį
a - apatinė bazė
b - viršutinė bazė
h - trapecijos aukštis
Lygiašonės trapecijos ploto formulė naudojant pagrindus ir aukštį, (S):
Trikampio plotas, pagrįstas kraštine ir dviem kampais, formulė.
a, b, c - trikampio kraštinės
α, β, γ – priešingi kampai
Trikampio plotas per kraštinę ir du kampus (S):
Taisyklingo daugiakampio ploto formulė
a – daugiakampio kraštinė
n - kraštinių skaičius
Taisyklingo daugiakampio plotas, (S):
Formulė (Heron) trikampio plotui per pusperimetrą (S):
Lygiakraščio trikampio plotas yra:
Formulės lygiakraščio trikampio plotui apskaičiuoti.
a - trikampio kraštinė
h – aukštis
Kaip apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą?
b - trikampio pagrindas
a – lygios pusės
h – aukštis
3. Trapecijos ploto formulė naudojant keturias kraštines
a - apatinė bazė
b - viršutinė bazė
c, d - šonai
Trapecijos apibrėžtojo apskritimo spindulys išilgai kraštinių ir įstrižainių
a – šoninės trapecijos pusės
c - apatinė bazė
b - viršutinė bazė
d - įstrižainė
h - aukštis
Trapecijos apskritimo spindulio formulė, (R)
Raskite lygiašonio trikampio apskritimo spindulį naudodami kraštines
Žinodami lygiašonio trikampio kraštines, galite naudoti formulę norėdami rasti apibrėžto apskritimo spindulį aplink šį trikampį.
a, b - trikampio kraštinės
Lygiašonio trikampio apskritimo spindulys (R):
Įbrėžto apskritimo spindulys šešiakampyje
a - šešiakampio pusė
Įbrėžto apskritimo spindulys šešiakampyje (r):
Įbrėžto apskritimo spindulys rombe
r - įbrėžto apskritimo spindulys
a - rombo pusė
D, d - įstrižainės
h - rombo aukštis
Įbrėžto apskritimo spindulys lygiakraštėje trapecijoje
c - apatinė bazė
b - viršutinė bazė
a - šonai
h - aukštis
Įbrėžto apskritimo spindulys stačiakampiame trikampyje
a, b - trikampio kojos
c - hipotenuzė
Įbrėžto apskritimo spindulys lygiašoniame trikampyje
a, b - trikampio kraštinės
Įrodykite, kad įbrėžto keturkampio plotas yra
\/(р - а) (р - b) (р - с) (р - d),
čia p yra pusperimetras, o a, b, c ir d yra keturkampio kraštinės.
Įrodykite, kad į apskritimą įbrėžto keturkampio plotas lygus
1/2 (ab + cb) · sin α, kur a, b, c ir d yra keturkampio kraštinės, o α yra kampas tarp kraštinių a ir b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Skaitykite daugiau FB.ru:
Savavališko keturkampio plotas (1.13 pav.) gali būti išreikštas jo kraštinėmis a, b, c ir priešingų kampų poros suma:
čia p yra keturkampio pusperimetras.
Į apskritimą () įbrėžto keturkampio plotas (1.14 pav., a) apskaičiuojamas pagal Brahmaguptos formulę
ir aprašyta (1.14 pav., b) () - pagal formulę
Jei keturkampis įrašomas ir aprašomas vienu metu (1.14 pav., c), tai formulė tampa labai paprasta:
Pasirinkite formulę
Norint įvertinti daugiakampio plotą languotame popieriuje, pakanka suskaičiuoti, kiek langelių apima šis daugiakampis (ląstelės plotą imame kaip vieną). Tiksliau, jei S yra daugiakampio plotas, yra ląstelių, kurios yra visiškai daugiakampio viduje, skaičius ir yra ląstelių, turinčių bent vieną bendrą tašką su daugiakampio vidumi, skaičius.
Žemiau nagrinėsime tik tuos daugiakampius, kurių visos viršūnės yra languoto popieriaus mazguose – tuos, kuriuose tinklelio linijos susikerta. Pasirodo, tokiems daugiakampiams galima nurodyti tokią formulę:
kur yra plotas, r yra mazgų, esančių griežtai daugiakampio viduje, skaičius.
Ši formulė vadinama „Pick formule“ – pagal matematiką, kuris ją atrado 1899 m.
Jei renovaciją planuojate atlikti patys, tuomet reikės atlikti statybinių ir apdailos medžiagų sąmatą. Norėdami tai padaryti, turėsite apskaičiuoti patalpos, kurioje planuojate atlikti remonto darbus, plotą. Pagrindinis asistentas yra specialiai sukurta formulė. Patalpos plotas, būtent jo apskaičiavimas, leis sutaupyti daug pinigų statybinėms medžiagoms ir nukreipti atsilaisvinusius finansinius išteklius tinkamesne linkme.
Geometrinė kambario forma
Kambario ploto apskaičiavimo formulė tiesiogiai priklauso nuo jo formos. Buitiniams pastatams būdingiausi yra stačiakampiai ir kvadratiniai kambariai. Tačiau pertvarkymo metu standartinė forma gali būti iškraipyta. Kambariai yra:
- Stačiakampis.
- Kvadratas.
- Sudėtinga konfigūracija (pavyzdžiui, apvali).
- Su nišomis ir iškyšomis.
Kiekvienas iš jų turi savo skaičiavimo ypatybes, tačiau paprastai naudojama ta pati formulė. Vienu ar kitu būdu galima apskaičiuoti bet kokios formos ir dydžio kambario plotą.
Stačiakampis arba kvadratinis kambarys
Norėdami apskaičiuoti stačiakampio ar kvadratinio kambario plotą, tiesiog prisiminkite savo mokyklos geometrijos pamokas. Todėl jums neturėtų būti sunku nustatyti kambario plotą. Skaičiavimo formulė atrodo taip:
S kambariai=A*B, kur
A yra kambario ilgis.
B yra kambario plotis.
Norėdami išmatuoti šias vertes, jums reikės įprastos matavimo juostos. Norint gauti tiksliausius skaičiavimus, verta išmatuoti sieną iš abiejų pusių. Jei reikšmės nesutampa, remkitės gautų duomenų vidurkiu. Tačiau atminkite, kad bet kokie skaičiavimai turi savo klaidų, todėl turėtumėte įsigyti medžiagą su atsarga.
Sudėtingos konfigūracijos kambarys
Jei jūsų kambarys neatitinka „tipinio“ apibrėžimo, t.y. turi apskritimo, trikampio, daugiakampio formą, tada skaičiavimams gali prireikti kitos formulės. Galite pabandyti apytiksliai padalyti kambario plotą su šia charakteristika į stačiakampius elementus ir atlikti skaičiavimus standartiniu metodu. Jei neturite šios galimybės, naudokite šiuos metodus:
- Apskritimo ploto nustatymo formulė:
S kambarys=π*R 2, kur
R yra kambario spindulys.
- Formulė trikampio plotui rasti:
S kambarys = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), kur
P yra trikampio pusperimetras.
A, B, C yra jo kraštinių ilgiai.
Taigi P=A+B+C/2
Jei skaičiavimo metu turite kokių nors sunkumų, geriau nekankinti savęs ir kreiptis į profesionalus.
Patalpos plotas su iškyšomis ir nišomis
Dažnai sienas puošia dekoratyviniai elementai įvairių nišų ar iškyšų pavidalu. Be to, jų buvimas gali būti dėl to, kad reikia paslėpti kai kuriuos neestetiškus jūsų kambario elementus. Jei ant jūsų sienos yra briaunų ar nišų, skaičiavimas turėtų būti atliekamas etapais. Tie. Pirma, randamas plokščios sienos dalies plotas, o tada pridedamas nišos arba iškyšos plotas.
Sienos plotas randamas pagal formulę:
S sienos = P x C, kur
P - perimetras
C - aukštis
Taip pat reikia atsižvelgti į langų ir durų buvimą. Jų plotas turi būti atimtas iš gautos vertės.
Kambarys su kelių lygių lubomis
Kelių lygių lubos neapsunkina skaičiavimų, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Jei jis yra paprasto dizaino, tada skaičiavimus galima atlikti remiantis nišų ir iškyšų apsunkintų sienų ploto nustatymo principu.
Tačiau jei jūsų lubų konstrukcijoje yra arkinių ir bangų pavidalo elementų, tada tikslingiau nustatyti jų plotą naudojant grindų plotą. Norėdami tai padaryti, jums reikia:
- Raskite visų tiesių sienų dalių matmenis.
- Raskite grindų plotą.
- Padauginkite vertikalių sekcijų ilgį ir aukštį.
- Sumuokite gautą vertę su grindų plotu.
Žingsnis po žingsnio instrukcijos, kaip nustatyti bendrą
kambario plotas
- Išvalykite kambarį nuo nereikalingų daiktų. Matavimo proceso metu jums reikės laisvos prieigos prie visų savo kambario sričių, todėl turite atsikratyti visko, kas gali tam trukdyti.
- Vizualiai padalinkite kambarį į teisingas ir dalis netaisyklingos formos. Jei jūsų kambarys yra griežtai kvadrato arba stačiakampio formos, galite praleisti šį veiksmą.
- Padarykite atsitiktinį kambario išdėstymą. Šis brėžinys reikalingas, kad visi duomenys visada būtų po ranka. Be to, tai nesuteiks jums galimybės susipainioti atliekant daugybę matavimų.
- Matavimai turi būti atliekami kelis kartus. Tai svarbi taisyklė pašalinti klaidas skaičiavimuose. Be to, jei jį naudojate, įsitikinkite, kad sija guli ant sienos paviršiaus.
- Raskite bendrą kambario plotą. Bendro kambario ploto formulė yra rasti visų atskirų kambario dalių plotų sumą. Tie. S iš viso = S sienos + S grindys + S lubos
